文档介绍：立体几何中的向量
适用学科高中数学适用年级高中二年级
适用区域通用课时时长（分钟） 90
知识点
用空间向量处理平行垂直问题；用空间向量处理夹角问题.
教学目标
1.
理解直线的方向向量与平面的法向量；
2.
能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；
3.
能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）．
4.
能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法的作
教学重点
教学难点

用向量方法解决立体几何中的有关问题
用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题
教学过程
一、课堂导入
空间平行垂直问题
．两条直线平行与垂直；
２．直线与平面平行与垂直；
３．两个平面平行与垂直；
空间夹角问题
．两直线所成角；
２．直线和平面所成角；
３．二面角的概念；
空间距离问题
二、复****预****br/>r
r
（１）空间向量的直角坐标运算律：设
a
(a1, a2 , a3 ) ， b
(b1 ,b2 , b3 ) ，则
r r
r
r
a b (a1
b1, a2
b2 , a3 b3 )
，
a b (a1
b1 , a2
b2 , a3
b3 )
r
a ( a1 , a2, a3 )(
R) ，
r r
r r
a b a1b1
a2b2
a3b3
，
a // b
a1
b1, a2
b2 , a3
b3 (
R)
r r
a b a1b1 a2 b2
a3b3
0 ．
uuur
x1 , y2y1 , z2 z1) ．
（2 ）若 A( x1, y1, z1) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，则 AB (x2
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减
去起点的坐标．
r
r
r
r
2
2
2
(a1 , a2 , a3 ) ，则 | a |
a
a
a1
a2
a3
（3
）模长公式：若 a
．
r
r
cos
r r
a1b1
a2 b2
a3b3
a bra br
2
2
| a |
| b |
2
2
2
2
（4
）夹角公式：
a1
a2
a3 b1
b2
b3
．
（5 ）两点间的距离公式：若 A(x1, y1, z1 ) ， Bx(2, y2,z2)，则
2
2
( y1 y2 )2
( z1 z2 ) 2 ．
AB
AB
( x1 x2 )

，
，
三、知识讲解
考点 1 平面法向量的求法
r
在空间平面法向量的算法中，普遍采用的算法是设 n ( x, y, z) ，它和平面内的两个
不共线的向量垂直，数量积为 0，建立两个关于 x,y,z 的方程，再对其中一个变量根据
需要取特殊值，即可得到法向量．还有几种求平面法向量的办法也比较简便．
求法一：先来看一个引理：
若平面 ABC 与空间直角坐标系 x 轴、y 轴、z 轴的交点分别为 A(a，0，0)、B(0，b，
0)、C(0，0，c)，定义三点分别在 x 轴、 y 轴、 z 轴上的坐标值 xA ＝ a， yB ＝ b， zC
＝（
均不为
），则平面
r
1
, 1 , 1) (0)．参数的值可根
ABC
的法向量为 n (