第三章 凸分析.pdf

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第三章凸分析
第一节第一节 凸集与凸集分离定理凸集与凸集分离定理
一、凸集
n
10 1、定义：设集合，，若中任意两点和CR C xy
的凸组合，则称是一个凸集。xy C C(1 )
2( 1 )、几何意义：在二维中，和的凸组合即xy x y
为和的连线。所以在二维中，若集中任意两点连线段仍属xy
原集合，则原集合为凸集。 : .
3、下面我们看两个证明集合为凸集的例子：
n
例：证明线性规划的可行域，是1| 0Dx RA x b x
一个凸集。
证：任取中两个元素，要证其两者凸组合仍属于即可。DD
取中和，，。则有：Dxy  [0 1]
Ax y A x A y b bb[ ( 1) ] ( 1) ( 1)。
而，故所以是一个凸集。xy xy D D(1 ) 0 (1 ) ,
nn1 T
例：对任，，，集合20 { |pR p R H xRp x  }
n
称为以为法向量的超平面。超平面是中的凸集。pH R
因为对任，，，，有：xyH [0 1]
TT T
px y p x p y[