文档介绍：. .
优选
复数与复变函数
复数几种表示
代数表示
几何表示：用复平面上点表示
〔复数、点、向量视为同一概念〕
三角式：
指数式 ：
辐角
乘幂与方根
〔1〕乘幂： ，
〔2〕方根：
解析函数
连续、导数与微分概念类似于一元实变函数
求导法那么与一元实变函数类似
函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域处处可导
注：〔1〕点解析点可导， 点可导推不出点解析
〔2〕区域解析与可导等价
定理1 在可导在可微，满足C-R方程
定理2 在区域D解析〔可导〕
在区域D可微，满足C-R方程
讨论1 在区域D4个偏导数存在且连续，满足C-R方程
在区域D解析〔可导〕
. .
优选
解析函数和调和函数的关系
定义1 调和函数：满足拉普拉斯方程，且有二阶连续偏导数的函数。
定义2 设是区域D调和函数，且满足C-R方程，
，那么称是的共轭调和函数。
定理1 解析函数的虚部与实部都是调和函数。
定理2 函数在D解析虚部是实部的共轭调和函数。
3、问题：解析函数的实部〔或虚部〕，求虚部〔或实部〕
理论依据：
〔1〕虚部、实部是调和函数。
〔2〕实部与虚部满足C-R方程。
求解方法：〔例如〕
〔1〕偏积分法：先求，再求，得出
〔2〕利用曲线积分：求，再
〔3〕直接凑全微分：求，再
初等函数
指数函数
性质：〔1〕是单值函数，
〔2〕除无穷远点外处处有定义
〔3〕
〔4〕处处解析，
〔5〕
〔6〕是周期函数，周期是
. .
优选
对数函数 〔多值函数〕
主值〔枝〕 〔单值函数〕
性质：〔1〕定义域是，
〔2〕多值函数
〔3〕除去原点和负实轴的平面连续
〔4〕除去原点和负实轴的平面解析，，，
〔5〕
3、幂函数是复常数〕
〔1〕为正整数，函数单值、处处解析，
〔2〕为负整数，函数单值、除去及其负实轴处处解析，
4、三角函数
欧拉公式
或
定义：
性质：周期性、可导性、奇偶性、零点、等于实函数一样
各种三角公式、求导公式照搬
注：的有界性 保护成立。
复变函数的积分
复积分
〔c的正向为逆时针方向〕
. .
优选
计算方法：
〔1〕第二类曲线积分计算
〔2〕化为普通定积分
重要结果：
〔n为任意整数〕
二、柯西积分定理
定理1〔柯西积分定理〕 设在单连通区域D解析，C为D任意一条简单闭曲线，那么 。
注：条件变为在单连通区域D解析，在D的边界C上连续，结论成立，即 。
定理2 设在单连通区域D解析，那么积分与路径无关。
记积分为 ，或
原函数定义
结论：是的原函数。
〔条件：是解析函数〕
定理3 〔闭路变形原理〕〔柯西积分定理推广