文档介绍：基本不等式应用
.基本不等式
1.(1)若a,bR,则a2b22ab(2)若a,b
2.(1)若a,bR,则
..ab(2)若a,b
R，则ab
R,则ab
（当且仅当a
（当且仅当a
b时取
“二”）
b时取）
(3)若a,bR,则ab
b
2~
（当且仅当a
,则
x
0,则
3•若ab0,则
当且仅当x1时取J"）
2或x_L・2（当且仅当ab时取）
X
（当且仅当ab时取
1时取“二,,）
若ab
-2（当且仅当ab时取“二”）
,bR,则（旦a-L（当且仅当b时取“=”）
2
注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”
（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、
例1:求下列函数的值域
11
，1）y=3x2+衣（2）y=X+
解：(1)y=3x2+2p>2；3x22A=6
•••值域为[W,+s)
(2)当x>0时，y=x+x>2Ax>=2;
当XVO时，y=x+1=_(—x--)<-2x--=-2xxyx
•值域为(一a,-2]U[2,+s)
解题技巧：技巧一：凑项
54
例1:已知X,求函数y4x2的最大值。
44x5
解：因4x50,所以首先要“调整”符号，又<4x
4x5
Qx5,54x0,y4x21
44x5
不是常数，所以对4x2要进行拆、凑项,
54x1323
54x
当且仅当54x1即X1时，白式文号成故当X1lit,Fmaxlo
54x'
评注：本族需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
例1•当I,二时，求yx（8解析：由I尸知,
2x）的最大值。
,利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子
积的形式，但其和不是定值。注意到2x（8
1-
2x）8为定值，故只需将yx（82x）凑上一个系数即可。
yAx(8-2x)=-[2r*(E-2r)]1
当」
「，即x=2时取等号
22J
当乂=2时，yx(8
2x）的最大值为8。
评注：本题无法直接运用基本不等式求解,
变式：设0
③，求函数y
2
4x(3
解：…
0
2x
当且仅当
2x
32x,即
仅」口二：力闰
2X例3•求y—
7x10/
(X
但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大
值。
2x）的最大值。
4x(32x)22x(32x)
3
5时等号成立。
1）的值域.
解析•：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分r配方凑出含有（
•1
7+1
当'
1，即,-1I时,y2(x1)
技巧四:换元
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令
(t21)7(t1)+10J5t4
45t
」2x32x2
X+1）的项，再将其分离0
9（当且仅当x=1时取“二”号）。
t=x+1,化简原式在分离求最值。
当］1，即t=,_1评注：分式函数求最值,
时，y2
4
（当
t=2即x=1时取J”号）。
通常直接将分广配凑后将式子分开或将分母换元后将式/分开再利用不等式求最A
值。即化为ymg（x）
B(A0,B0),g(x)恒正或恒负的形式,g(x)
然后运用基本不等式来求最值。
技巧五：注意:
在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数
f(x)
x-的单调性。
X
X25
例：求函数y
的值域。
4xn
t(t
2),则y
疔54M
x24
2)
厂1
因to,t-t
1不在区间2,
,故等号不成立，考虑单调性。
1
因为yt在区间t
1,
单调递增，所以在其「区间
2,为单调递增函数，故
所以，所求函数的值域为I
2
练****求下列函数的最小值，并求取得最小值时,
x的值.
(Dy