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高中数学竞赛——平面几何
典型例题
1. 如图，，及相交于点，，过点的一条直线分别及，相交于点，，点在的弧上，及线段的延长线交于点，点在的弧上，及线段的延长线交于点．是的外心，且，
求证：，，，四点共圆．
2. 设是内一点，点关于，，的内平分角线的对称点分别为，，．证明：，，相交于一点．
，在中，，点在的外接圆Γ的弧〔不含点〕内，．连接并延长至点，使得，连接交圆Γ于点，连接，记的外心为．求证：三点共线．
，等圆及圆交于，，为中点，过引圆的弦交圆于，过引圆的弦交圆于．求证：，，三线交于一点．
，，，，的内心依次记为．
试证：是圆内接四边形．
6. 的重心为，证明分别关于的角平分线对称的三条直线交于一点．
．．在内．射线和分别交圆于和．过且平行于的直线分别交和于和．
求证：假设平分，那么、、、四点共圆．
，设，是正六边形的两条对角线，点，分别内分，，使，求证：，，共线．
，一圆交的边分别于及，及，及，如果由点分别引的垂线相交于一点，那么过点的垂线也相交于一点．
10. 是以为直径的半圆上的两个点，弦交于点，分别是延长线上的点，且满足，假设的垂心分别为，
证明⑴的交点在圆上；⑵三点共线．
，，分别是其外心、垂心，求证：的外心在直线上.
12. 的外心为，，为的外接圆上且在内部的任意一点，以为直径的圆分别及，交于点，，，分别及，或其延长线交于点，，求证，，三点共线．