第三节正定二次型和正定矩阵.ppt

文档介绍：第三节正定二次型和正定矩阵
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一、正定二次型正定矩阵
定义
由定义，可得以下结论：
充分性是显然的；下面用反证法证必要性：
代入二次型，得
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由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只要通过非退化线性变换，将其化为标准形，就容易由以下定理判别其正定性。
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定理
推论
实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值
全为正。
☎
正定矩阵。
这是因为：
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解
例1 判别二次型
是否正定。
二次型对应的矩阵为
,
)
1
4
)(
2
(
2
+
-
-
=
l
l
l
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全为正，
因此二次型正定。
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定理
设矩阵A正定，则
（1）A的主对角元全为正；
证明
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上述定理是A正定的必要条件，但不是充分条件。
定理
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解
例2 判别二次型
是否正定。
二次型对应的矩阵为
它的顺序主子式为：
因此 A是正定的，
即二次型 f 正定。
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解
例3 设有实二次型
问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？
f 的矩阵为
顺序主子式为：
解得
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