文档介绍：二次函数综合题型精讲精练
主讲：姜老师
题型一：二次函数中的最值问题
例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．
（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求 AM+OM 的最小值．
解析：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入 y=ax2+bx+c 中，得
解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0
所以解析式为y=﹣x2+x．
（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得
抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段
OB
∴OM=BM
∴OM+AM=BM+AM
连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM
最小
过点A作AN⊥x轴于点N，
在Rt△ABN中，AB=
=
=4
，
因此OM+AM最小值为
．
方法提炼：已知一条直线上一动点
M和直线同侧两个固定点
A、B，求AM+BM最小值的问题，我们只
需做出点A关于这条直线的对称点
A’，将点B与A’连接起来交直线与点M，那么A’B就是AM+BM
的最小值。同理，我们也可以做出点
B关于这条直线的对称点
B’，将点A与B’连接起来交直线与点M，
那么AB’就是AM+BM的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。
A
A
B
B
M
或者
M
A’
B’
例2：已知抛物线C1的函数解析式为y
ax2
bx
3a(b0)，若抛物线C1经过点(0,3)，方程
ax2
bx3a0的两根为x1，x2，且x
x
2
4。
1
（1）求抛物线C1的顶点坐标.
（2）已知实数x0，请证明：x
1
1
≥2,并说明x为何值时才会有x
2.
x
x
（3）若抛物线先向上平移4
个单位，再向左平移
1个单位后得到抛物线
C2，设A(m,y1)，B(n,y2)是C2
上的两个不同点，且满足：
AOB
900，m
0，△AOB的面积S，
并求出S的最小值及 S取最小值时一次函数 OA的函数解析式。
解析：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a＝－３
∴a＝１
∴ｙ＝x2＋bx－３
∵x2＋bx－３=０的两根为 x1,x2且x1-x2＝４
∴x1 x2 (x1 x2)2 4x1x2＝４且b＜０
∴b＝－２
∴ｙ＝x2－２x－３＝（x－１）２－４
∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４）
（2）∵x＞０，∴x
1
2(x
1
)2
0
x
x
∴x
1
x
1
2,显然当x＝１时，才有
2,
x
x
3）方法一：由平移知识易得Ｃ２的解析式为：y＝x2∴Ａ(m，m２)，B（n，n２）
∵ΔAOB为Rt
∴OA２+OB２=AB２
∴m２＋m４＋n２＋n４＝（m－n）２＋（m２－n２）２
化简得：mn＝－１
∵ＳAOB=
1
OA?OB=
1
m2
m4?n2
n4
2
2
∵mn＝－１
∴ＳAOB＝
1
2m2
n2
1
2m2
1
2
2
m2
＝1
(m
1)2
1
m
1
1
21
2
m
2
m
2
∴ＳAOB的最小值为１，此时
m＝１,Ａ(１,１)
∴直线OA的一次函数解析式为
ｙ＝x
方法提炼：①已知一元二次方程两个根
x
1
2
,求|x
1
-x
2
1
2
|=
(x1
x2)
2
4x1x2
,x
|。因为|x
-x