文档介绍：导数及其应用
第一章导数及其应用复习小结(二)
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近几年该知识
点的考查情况：
高考命题预测
主要题型
（1）2001年高考第8题关于极值问题，第19题第（2）问证明函数的单调性；2002年高x≥0)交于O，A,直线x=t(0<t<1)与曲线C1,C2分别交于B，D.
（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);
（Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t) 的最大值.
O
t
x
y
D
B
A
C1
C2
B
解：（Ⅰ）由 得
交点O、A的坐标分别是（0，0），
（1，1）.
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即
（Ⅱ） 令 解得
当 从而 在区间 上是增函数；
当 从而 在区间 上
是减函数；
所以当 时， 有最大值为
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例4已知函数f(x)＝ax3+bx2－3x 在x＝±1 处取得极值。
(1)讨论f(－1)和f(1)是函数f(x) 的极大值还是极小值；
(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程。
解：
依题意，
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f(x)在(－∞，－１)，(１，＋∞) 上是增函数，
f(x)在(－1,1)上是减函数。
所以，f(－１) ＝2 是极大值； f(１) ＝－2 是极小值。
（2）曲线方程为y＝x3－3x，点A(0,16)不在曲线上 .
设切点为 ，则点M的坐标满足
因
故切线的方程为
注意到点A（0，16）在切线上，有
所以，切点为 ，
切线方程为
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解 f (x) = 12x3 - 48x2 + 60x – 24
令 f (x) = 0，得驻点 x = 1， x = 2，
它们为 f (x) 可能的极值点，
算出这些点及区间端点处的函数值：
= 12(x - 1)2(x - 2)，
f (0) = 4，
f (1) = - 3，
f (2) = - 4，
f (3) = 13，
将它们加以比较
可知在区间[0, 3]上 f (x) 的最大值为 f (3) = 13，
最小值为 f (2) = - 4.
例 5 试求函数 f (x) = 3x4 -16x3 + 30x2 –24x +4在区间[0,3]上的最大值和最小值.
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例6
解：
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例7已知函数f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx.
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值；
（Ⅱ）设0<a<b,
证明: 0<g(a)+g(b)-2g( )<(b-a)ln2.
解： （Ⅰ）函数 的定义域为
故当且仅当x=0时， f(x) 取得最大值，最大值为0.
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（Ⅱ）
从而，当 有极小值
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练习1：当 时，证明:
解：作函数
当 x≥0时，
知 f(x)单调递减，
而 x=0 时，
故当 x>0 时，
当 x ≥ 0 时，
知 f(x)单调递减，
而 x=0 时，
故当 x>0 时，
综上得 原不等式成立.
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分析：导数反应函数在某点处的变化率，它的几何意义是相应曲线在该点处切线的斜率。
二、能力题型
例8、求函数y=ax3+bx2+cx+d的图像和y轴相交于p点，且曲线在p点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值为0，试确定函数的解析式。
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解：∵ y=ax3+bx2+cx+d 的图像和y轴交点p，
∴p的坐标为p(0,d)
又∵曲线在点p处的切线方程为12x-y-4=0且p点的坐标适合方程，从而d=-4
又∵k=12，故在x=0处的导数y`/x=0=12 而y`=3ax2+bx+c∴c=12
又∵函数在