文档介绍：第九章静态力 Chapter Ⅸ Static Forces
引言
力和力距的表示
坐标系之间的力变换
等效关节力矩
本章小结
引言(Introduction)
本章介绍静态力和力距的表示方法,以及它们在坐标系之间的变换和等效关节力矩的计算方法。
力和力距的表示 (The Representation of Forces and Moments)
力和力距都是矢量,要相对于某个确定的坐标系来进行描述。矢量 f 表示力,矢量 m 表示力矩。力与力矩合在一起用矢量F表示,称为力向量F。
例如一个力矢量 f = 10i + 0j – 150k 和一个力矩矢量 m = 0i –100j + 0k,可用一个六维力向量表示为
F = [ 10 0 –150 0 –100 0 ] T
()
坐标系之间力的变换 (Transformation of Forces Between Coordinate Frames)
虚功原理:所谓虚功原理是指假定有一个力向量F作用于一个物体,它引起一个微小的假想位移,称之为虚位移D,由于物体实际上并未移动,它在这个物体上所作的功称为虚功,且虚功为零。即
δw = FT D = 0 ()
其中δw 表示虚功,D 表示虚位移的微分运动矢量
D = [ dx dy dz δx δy δz ]T ()
F为力矢量
F = [ fx fy fz mx my mz ]T ()
如果虚位移是由作用在物体上的另一个力向量造成的,它对物体的外部作用效果相同。如果这个虚位移用坐标系C来描述,那么就会得到相同的虚功,即
δw = FT D = CFT CD ()
即
FT D = CFT CD ()
则有
C dx nx ny nz (p×n)x (p×n)y (p×n)z dx
C dy ox oy oz (p×o)x (p×o)y (p×o)z dy
C dz ax ay az (p×a)x (p×a)y (p×a)z dz
Cδx = 0 0 0 nx ny nz δx ()
Cδy 0 0 0 ox oy oz δy
Cδz 0 0 0 ax ay az δz
令 CD = J D ()
从而得到
FTD = CFT J D ()
上式适用于任何虚位移D,于是可以得到
FT = CFT J ()
即 F = JT CF ()
亦即
fx nx ox ax 0 0 0 cfx
fy ny oy ay 0 0 0 cfy
fz nz oz az 0 0 0 cfz
mx = (p×n)x (p×o)x (p×a)x nx ox ax cmx
my (p×n)y (p×o)y (p×a)y ny oy ay cmy
mz (p×n)z (p×o)z (p×a)z nz oz az cmz
()
上式求逆得
cfx nx ny nz 0 0 0 fx
cfy ox oy oz 0 0 0 fy
cfz ax ay az 0 0 0 fz
cmx = (p×n)x (p×n)y (p×n)z nx ny nz mx
cmy (p×o)x (p×o)y (p×o)z ox oy oz my
cmz (p×a)x (p×a)y (p×a)z ax ay az mz
将上式的上三行和下三行互换有
cmx nx ny nz (p×n)x (p×n)y (p×n)z mx
cmy ox oy oz (p×o)x (p×o)y (p×o)z my
cmz ax ay az (p×a)x (p×a)y (p×a)z mz
cfx = 0 0 0 nx n y nz fx
cfy 0 0 0 ox oy oz fy
cfz 0 0 0 ax ay az fz
()
()
由式()和第五章的式()可知,力和力矩在坐标系之间的变换形式与微分平移和微分旋转的变换形式相同,则有
cmx = n · (( f × p ) + m)
cmy = o ·(( f × p ) + m)
cmz = a ·(( f × p ) + m)
cfx = n · f
cfy = o · f
cfz = a · f
式中的n,o,a ,它们是微分坐标变换式的列向量,力矩的变换形式与微分平移一样,而力的变换形式与微分旋转一样。
()
()
等效关节力矩(Equivalent Joint Torques)