文档介绍：线性系统稳定性分析
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系统稳定性概念
稳定的充要条件
稳定性判断方法
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李亚普诺夫稳定性叙述:若线性控制系统在扰动影响下其线性系统稳定性分析
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系统稳定性概念
稳定的充要条件
稳定性判断方法
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李亚普诺夫稳定性叙述:若线性控制系统在扰动影响下其动态过程随着时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡点），则称系统渐近稳定，简称稳定。若系统在扰动影响下，其动态过程随着时间的推移而发散，则称系统不稳定。
系统受扰动偏离了平衡状态，当扰动消除后系统能够恢复到原来的平衡状态，则称系统稳定，反之称系统不稳定。
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线性系统稳定的充要条件：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说闭环传递函数的极点均严格位于左半平面。
系统的稳定性只与系统自身结构参数有关，而与初始条件、外作用大小无关；系统稳定性只取决于系统特征根（闭环极点），而与系统零点无关。
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S平面特征根分布与稳定性关系
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线性系统稳定充要条件
奈奎斯特稳定性判据
对数频率稳定性判据
李亚普诺夫稳定性判据
代数稳定判据
赫尔维茨稳定判据
劳斯稳定判据
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线性系统稳定的充要条件：
系统特征方程
D(s)=a0sn + a1 sn-1 +…+an-1s+ an=0(a0 >0)
各项系数构成的劳斯表第一列各值均为正值。
ROUTH表中第一列出现变号的次数即是系统所包含的右半平面极点数。
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例3-1
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解：列劳斯表
该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面。
已知一调速系统的特征方程式为
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劳斯判据特殊情况
劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有其余项。
若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。
如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
是以一个很小的正数
来代替为零的这项
1
解决的办法
据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列
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已知系统的特征方程式为
试判别相应系统的稳定性。
例3-2
由于表中第一列
上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为（临界）不稳定。
解：列劳斯表
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改变一次
改变一次
例3-3
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改变一次
改变一次
解法2:
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劳斯表中出现全零行
用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。
2
解决的办法
这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。相应的系统为不稳定。
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一个控制系统的特征方程为
列劳斯表
显然这个系统处于临界(不)稳定状态。
例3-4
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实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。
为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线
此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。
代入原方程式中，得到以
稳定判据能回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。
1
2
解决的办法
设
右侧。
Ruoth判据的应用
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例题
例题3－5
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例3-6
C(S)
R(S)
-
解⑴
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解⑵
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稳定必要条件：特征多项式各项系数均大于零。
赫尔维茨稳定判据：
线性系统稳定的充要条件：由系统特征方程
D(s)=a0sn + a1 sn-1 +…+an-1