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第二章 常用的数学工具
用生成函数求解递归方程
生成函数与其性质
一、生成函数的定义
令是一个实数序列，构造如下的函数：
〔〕
如此函
所以，递归方程的通解为：
代入初始条件：
解此联立方程，得：
如此递归方程的解为：
k阶常系数线性非齐次递归方程
一、k阶常系数线性非齐次递归方程
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1、递归方程的形式：
〔〕
2、通解形式：
其中，是对应齐次递归方程的通解，是原非齐次递归方程的特解。
3、特解的求取
1〕是的次多项式，即
〔〕
其中，是常数。特解也是的次多项式：
〔〕
其中，为待定系数。
2〕是如下形式的指数函数：
〔〕
其中，、为常数。
a) 不是特征方程的重根，特解为：
〔〕
其中，为待定系数。
b) 是特征方程的重特征根，特解的形式为：
〔〕
其中，是待定系数。
二阶常系数线性非齐次递归方程如下：
解 对应的齐次递归方程的特征方程为：
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把此方程转换为：
得到特征根为：
所以，对应的齐次递归方程的通解为：
令非齐次递归方程的特解为：
代入原递归方程，得：
化简后得到：
由此，得到联立方程：
解此联立方程，可得：
所以，非齐次递归方程的通解为：
把初始条件代入，有：
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解此联立方程，得：
最后，非齐次递归方程的通解为：
二阶常系数线性非齐次递归方程如下：
解 对应齐次递归方程的特征方程为：
此方程可改写成：
所以，方程的解为：
齐次递归方程的通解为：
令非齐次递归方程的特解为：
把特解代入原非齐次递归方程，得：
整理得：
可得联立方程：
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解此联立方程得：
所以，非齐次递归方程的通解为：
用初始条件代入：
解此联立方程得：
最后，非齐次递归方程的解为：
解方程步骤归纳
〔1〕求齐次方程的解 但系数项待定
〔2〕确定特解 将特解带入原方程，确定各系数
〔3〕确定通解，由给定的初值确定确定齐次方程的未定系数。
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用递推方法求解递归方程
递推
非齐次递归方程：
〔〕
其中，、是常数，是的某一个函数。直接把公式应用于式中的，得到：
〔〕
汉诺塔问题。
由〔〕，汉诺塔的递归方程为：
直接利用〔〕式于汉诺塔的递归方程。此时，
从递推到1，有：
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用递推法求解变系数递归方程
一、变系数齐次递归方程：
〔〕
利用递推方法，容易得到：
〔〕
解如下递归函数：
由〔〕式，容易得到：
二、变系数非齐次递归方程：
〔〕
其中，是常数，和是的函数。利用〔〕式对进展递推，有：
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〔〕
解如下的递归函数：
对方程进展递推，有：
如果直接使用公式〔〕，此时，，有：
得到同样结果。
解如下的递归方程
解 对方程进展递推，有：
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由公式〔〕，得
如果直接使用公式〔〕，此时，，同样有：
换名
解如下的递归方程：
其中， 。
解 把表示成的关系，原递归方程改写为：
再令：
于是，原递归方程可写为：
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对上面方程进展递推，有：
如果直接使用〔〕式，可得：
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结果一样。
解如下的递归方程：