文档介绍：中等数学
●数学活动课程讲座●
整数几何
朱华伟
广州大学计算机科学与教育软件学院,
中图分类号:. 文献标识码: 文章编号:———
整数几何问题指某些几何量如长·
度——多边形的边长、周长、角度、面积、体由口口口.
积是整数的几何问题,它是数学竞赛中经
竺± :
,需要综合.
运用几何知识和数论知识.
故却:.
解答整数几何问题的步骤是:
于是,,,.
首先,根据问题给出的几何条件,进行计
算或推理,从而,得到一些数量之间的关系因此≤吉, ≤÷,
式——等量关系、不等关系、函数关系等.
其次,根据几何量是整数的特点,依据整。≤’。’
数的性质来处理如利用数的整除性、整数口口
的表示方法、完全平方数的性质、确定整数的】
范围后再逐一验证等. ≤了,
例凸四边形的边长都是正整矛盾.
数,: 所以,四条边中总有两条边的长度相等.
四边形的四条边中总有两条边的长度例已知直角三角形的两条直角边长
相等. 分别为、,斜边长为,且、、凡均为正
证明设四边形四边的长分别为、、整数,:是完全平
、,周长为,且方数.
, ,上海市初中数学竞赛
, 证明因为,所以,
血口, /一—.
口Ⅱ, 又为质数,且—,则
其中,所有的字母都表示正整数. .一.
矗定口。口于是,,一.
口: 故
若结论不成立,则四边均不相等.
,
收稿日期:一一即是完全平方数.
年第期
例如图,在例如图,
中,已知在△中,已
是锐角,从顶点向边知。,
或它的延长线引垂是高, 的曰
线交于点;从顶点三边长都是整数,且图
向边或它的延长线. 求与的周长
之比.
引垂线交于点试问:当、都是整数
,全国初中数学竞赛
时,是怎样的三角形请给出证明. 解设,,.
,浙江省初中数学竞赛由∽,得
解设,、为正实数,
’
:, :、凡为刀正止整墅数双.‘
即·.
于是, ,等. 所以,.
因是完全平方数,且是质数,所
因,,所以, 以,令为正整数.
因此,.
一。, 。
于是,由勾股定理得
故,即. :/。一:、//一.
因为是整数,所以, 一是完全平
于是,、有如下五组解:
方数.
,,,,,,,,,,.
分别讨论如下.
—.
当时,了,了,此又一,且为质数,则
时,△是等边三角形. 』,
【—【.
当,时,曰—, , 于是,×,.
因为△△,所以,它
此时, 是以为直角的等腰直角三
们的周长比等于它们的相似比,即
角形.
×
当,时,与的讨论类丽丽‘
似,此时,△是以为直角的等腰直例周长为、面积为整数的直角三角
角三角形. 形是否存在若不存在,请给出证明;若存
当,时,:詈,了, 在,请证明共有几个
,全国初中数学联赛
此时, 是。的等腰三角形. 解满足条件的直角三角形存在,且恰
当,凡时,与的讨论类有一个.
似,此时,△是。的等腰三设此直角三角形斜边为,两直角边分
角形. 别为、,面积为..则
中等数学
口≤口, ①边上的两为.
则
:, ②四边
,
【口∈. ④肼
由式①、②有Ⅱ,可得÷
. ⑤≤. 图
又由式②有一,即
口Ⅱ:—. 当且仅当,即上及
把式③、④代人上式得上时,上式等号成立.
—
. 由已知得≤÷.
二
从而,—. ⑥
又由题设一,可得
由式⑤有.
≤一一一≤.
又因为整数,所以,由式⑥知亦为
于是,必有,,且此时上
整数.
及上.
从而,:或.
因此,这样的四边形有如下四个:
若,则.
,,;,,;
代人式②、④得
,:,; ,.
: :. 它们都是以为高的梯形或平行四
边形.
由于此方程组无解,故此情形不可能.
由口,一,得
若,则.
,一.
此时,。: :. 因此,这样的四边形的边长的平方和为
口一口×
解此方程组得
一.
口: 学,学. 故当时,上述平方和最小,且最
小值为.
而。: ,故以这三个数为边长构成唯
练习题
一的直角三角形.
例已知四边形的面积为, .如图,边长为的正△内接于
、、的长都是整数,且它们的和为圆,弦//,分别交
、于点、.如果
这样的四边形有几个的长和的长
都是正整数,则的值