文档介绍：第十章 单航带解析空中三角测量
主要内容：航带模型的建立，航带模型绝对定向及航带模型的非线性变形改正。
重点：航带模型的建立。
难点：航带模型的非线性变形改正
学时安排：授课 4，实验 0。
§10-1 航带模型的建立
应用航标的重心化：
重心坐标：
重心化坐标：
航带模型辅助坐标系中模型点坐标的重心化：
重心坐标：
重心化坐标：
求重心坐标时，地面控制点与模型点的数目和点号应对应相同。
三、航带模型的概略定向
类似于单元模型的概略定向，把航带模型作为一个整体，通过空间相似变换来实现。引用式（9-55），此处的符号为：
式中 为模型点经空间相似变换后所取得重心化地面参考坐标；ΔXG、ΔYG、ΔZG为航带模型重心平移值，误差方程式可写成：
(10-7)
其中：
(10-8)
式中初始值λ0=1，Ω0=Φ0=Κ0=0，ΔXG0=ΔYG0=ΔZG0=0。根据参加绝对定向的控制点按式(10-7)列出误差方程式，组成法方程式，解求得到变换参数的改正数。对于航带模型来说，因为还要进行非线性变形的改正，所以绝对定向一般只趋近一次。
航带模型绝对定向后，待定点在地面参考坐标系中重心化地面概略坐标按下式计算：
(10-9)
航带模型在构建过程中，由于误差累积，产生了非线性的变形。这种变形是很复杂的，不能用一个简单的数学式精确表达出来。通常采用一个多项式曲面来代替复杂的变形曲面，使曲面经过航带模型已知控制点时，所求得坐标变形值与实际变形值相等或其差的平方和最小。
通常采用的多项式有两种类型。一种是对X、Y、Z坐标分列的多项式，有三次和二次多项式；另一种是平面坐标改正采用三次或二次正形变换多项式。
三次和二次多项式改正公式
(10-10)
式中：ΔX、ΔY、ΔZ为航带模型经概略绝对定向后模型点的非线性变形坐标改正值；
为航带模型经概略绝对定向后模型点重心化概略坐标；
ai、bi、ci为非线性变形多项式的系数。
使用上列多项式进行运算时，对X、Y、Z坐标改正可以分开求解。若采用二次多项式改正公式，只需把式(10-10)中相应的三次项去掉，即得二次多项式形式。
正形变换改正公式：
正形变换的特点是正形变换以后的图形与变换前图形保持局部的相似。正形变换改正公式只限用于平面坐标改正，公式中ΔX、ΔY两式的系数Ai是相互关联的，不像前述多项式改正式中相应两式系数ai、bi是独立的，因此用正形变换改正式，X、Y坐标必须同时进行计算。又由于空间正形变换是不存在的，所以对Z坐标改正ΔZ仍采用式(10-10)中第三式形式。
若将式(10-11)中相应的三次项去除，即得二次正形变换改正公式形式。
(10-11)
航带模型作非线性改正空间采用二次项公式还是采用三次项公式，主要视实际布设控制点情况而定。对单航带解析空中三角测量若采用三次多项式作非线性变形改正，则每一个式中含有7个系数，ΔX、ΔY、ΔZ三个改正式共21个系数，要解算这些系数至少有分布适当的7个平高控制点。如果用三次正形变换改正式(10-11)作X、Y坐标非线性变形改正，ΔX、ΔY两个改正式含有8个未知数，而高程采用三次多项式含有7个未知数，则至少要有4个平面控制点和7个高程控制点。如果单航带模型用二次多项式作非线性变形改正，至少需要5个平高控制点，而X、Y坐标用二次正形变换式改正，Z坐标用二次多项式式改正，则只需3个平面控制点和5个高程控制点。由上可看出，采用正形变换改正式，所需地面控制点数量可以适当减少。
一、非线性变形改正式系数求
现假定采用二次多项式进行航带模型的非线性改正。二次多项式改正公式为：
(10-12)
式中XG、YG、ZG为该航带模型重心的地面参考坐标。多项式的特点是对X、Y、Z坐标可以分开求。现以X坐标运算为例。
式中X坐标对控制点而言是已知的，如果把该控制点的重心化概略坐标视为观测值，可用 +vX代入，要求满足控制点的概略坐标经非线性变形改正后，与其地面参考坐标就相等，由式(10-12)第一式可写成：
则误差方程式为：
（10-13a）
其中：
（10-13b）
如果航带中有n个控制点，则误差方程式写成矩阵形式为：
写成一般形式为：
V＝BX－L
相应的法方程式为：
BTPBX－BTPL＝O
解法方程式，得非线性变形改正式系数。
其中：
（10-15b）
组成相应法方程式，解得Y、Z坐标非线性变形改正式系数 和
(10-1