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2015年XX省高中数学竞赛
暨2015年全国高中数学联赛〔XX省赛区〕预赛试卷参考答案
〔考试时间：2015年5月24日上午9：00－11：30,满分160分〕
一、填空题〔共10小题,每小题6分,则当时,；时,。
∴在区间上为增函数,上为减函数。
∴的最大值为。
又时,；时,。
∴ 当且仅当,即时,恰有2个不同的实根。
设的两根为,〔〕。则时,,；时,,；时,,。
∴为的极小值点,为的极大值点。符合要求。
∴的取值X围为。
9．已知,若,则的取值X围为。
[答案]
[解答]设,则。
∴。
∴,。
.
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由知,方程的解集是方程的解集的子集。
若,则,。
若,设,则,得。
又时,,
所以,。的取值X围是。
10．若,则正整数的最小值为。
[答案] 4
[解答]由,,知
。
∴,
,
……………
上述各式左右两边分别相加,得
。
∴,。
∴,〔〕,〔〕。
∴ 正整数的最小值为4。
二、解答题〔共5小题,每小题20分,满分100分。要求写出解题过程〕
11．求函数的最小值。
.
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[解答一]由,得或。
∴ 函数的定义域为。 ……………………… 5分
记,则
当时,易知。在上为增函数。
∴时,的最小值为。 ………………………… 10分
当时,。
∴在上为减函数,时,的最小值为。 ……… 15分
综合得,函数的最小值为1。 ……………… 20分
[解答二]函数化为。
由,知,可设〔,且〕
…………………………5分
当时,,当,即时,取最小值3。 ………………………10分
.
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当时,,当,即时,取最小值1。 …………………………15分
综合得,函数的最小值为1。 …………………… 20分
或换元后利用导数求解。
[解答三]由,得,
∴,。 ……………………5分
依题意,有,因此,。 …………………10分
∴,,解得或。 ……………15分
将代入方程,解得。
∴在函数的值域内。
∴ 函数的最小值为1。 ………………………… 20分
12．已知过点斜率为的直线交双曲线：于、两点。
〔1〕求的取值X围；
〔2〕若为双曲线的右焦点,且,求的值。
[解答]〔1〕设方程为。
由,得………①。
.
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∵ 直线与双曲线有两个不同的交点,
∴,解得,且。
∴的取值X围为。 …………… 5分
〔2〕设,。则,。又,
∴,。
………………………… 10分
∵,
∴时,,
。
由,得,解得或〔舍去〕。
∴,。 …………………………… 15分
时,,
。
由,得,解得或或,均不符合,舍去。此时,满足条件的不存在。
综上可得,的值为1或。 …………………………… 20分
.
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13．如图,、分别为的内心、旁心,与圆、圆相切,切点分别为、,为与的交点。
〔1〕求证：；
〔2〕若为中点,求证：。
〔旁心：三角形旁切圆的圆心,它是三角形一个内角的平分线和其它两个内角的外角平分线的交点。〕
[解答]〔1〕设圆、圆的半径分别为、,
则。 …………………… 5分
〔作于,于,则。〕
由条件知,、、三点共线,,。
∴,。
∴。 …………………10分
〔2〕由,得,
即。
∴。 …………15分
∵为中点,
,
∴,即。
结合,可得。因此,。
∴。 ………………………………… 20分
另解：设的中点为,则由,为中点知,,且
.
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。
由,可得,,即。………15分
又。
∴,。
∴。 ………………………………… 20分
14．在坐标平面内,横纵坐标都是整数的点称为整点,三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形。求以点为内心且直角顶点在坐标原点的整点直角三角形的个数。
[答案]不妨设点在第一象限。
设,则,直线的斜率。
∴。