等比数列的应用学案.doc

文档介绍：第8课时等比数列的应用 1. 理解等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式的性质. 2. 能应用等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式的性质解决相关的数列问题. 前面我们共同学****了等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式等基本概念, 理解了累差法、归纳法、倒序相加法等, 今天我们将共同探究等比数列的定义, 通项公式,前n 项和公式的相关性质及其应用, 这些性质在数列中地位重要. 问题 1: 等比数列通项公式的性质(1) 对任意的 m,n∈N +,a n =a m·, q=. (2)若 m+n=p+q ,则, 特别地,若 m+n= 2p, 则.(3)a m,a m+k ,a m+ 2k,a m+ 3k,…仍是等比数列, 公比为. (4)①数列{a n} 是等比数列, 则数列{ pa n }(p≠0,p 是常数) 也是等比数列, 公比为. ②若{a n} 为等比数列, 公比为 q,则{a 2n} 也是等比数列, 公比为.③若{a n} 为等比数列, 公比为 q(q≠-1 ),则{a 2 n-1 +a 2n} 也是等比数列, 公比为.④若{a n}、{b n} 是等比数列,则{a nb n} 也是等比数列, 公比是两等比数列公比之. 问题 2: 等比数列的前 n 项和的简单性质(1) 数列 S m,S 2m -S m,S 3m -S 2m,…也是等比数列, 且公比为(q≠1).(2)当q≠1时,S n =Aq n +B ( 其中 A+B= ). (3)S n+m =S m +q mS n(q 为公比). 问题 3: 等比数列的判定方法(1) 定义法:若=q (q 为非零常数且n≥2 ),则{a n} 是等比数列;(2) 等比中项法:若a n≠0且=(n∈N + ),则{a n} 是等比数列;(3) 通项公式法:若a n =c ·(c,q 均是不为0 的常数,n∈N + ), 则{a n} 是等比数列;(4)前n 项和公式法:若S n =k ·q n+(k 为常数且 k≠0,q≠0,1 ),则{a n} 是等比数列. 问题 4: 等比数列的单调性(1)当a 1>0, q> 1时, 等比数列{a n} 是递数列; (2)当a 1<0,0 <q< 1时, 等比数列{a n} 是递数列; (3)当a 1>0,0 <q< 1时, 等比数列{a n} 是递数列; (4)当a 1<0, q> 1时, 等比数列{a n} 是递数列; (5)当 q< 0时, 等比数列{a n}是数列;当 q= 1时, 等比数列{a n}. 数列 9, 99, 999 , 9999 ,…的前 n 项和等于(). A. 10 n-1B. -nC.( 10 n-1)D.( 10 n-1) +n 2. 设等比数列{a n} 的前 n 项和为 S n,若 a 2013 =3S 2012 + 2014 ,a 2012 =3S 2011 + 2014 , 则公比 q 等于(). 3. 等比数列{a n} 的前 n 项和为 S n,若S 2=6,S 4= 30,则S 6=. 4. 已知数列{a n} 的通项 a n=2·3 n, 求由其奇数项所组成的数列的前 n项和S m,S 2m -S m,S 3m -S 2m,…也是等比数列的应用在等比数列{a n}中,S 2=7,S 6= 91,求S 4. 等比数列的证明数列{a n} 满足:a 1=1,a 2=,a n+ 2=a n+ 1-a n(n∈N +). (1)记d n =a n+ 1 -a n, 求证:{d n} 是等比数列. (2) 求数列{a n} 的通项公式. 数列单调性的判断已知各项均不相等的等差数列{a n} 的前四项和为 14,且a 1,a 3,a 7恰为等比数列{b n} 的前三项.(1) 分别求数列{a n },{ b n} 的前 n 项和 S n,T n; ( 2) 记数列{ a nb n} 的前 n 项和为 K n,设 c n=,求证:c n+ 1 >c n(n∈N +). 在等比数列{a n}中, 已知 S n= 48,S 2n= 60,求S 3n. 在{ a n}中, a 1=1, a n+ 1=, 试求数列{ a n} 的通项 a n. 已知函数 f(x) =-x 2+7x, 数列{a n} 的前 n 项和为 S n,点 P n(n,S n )(n∈N +) 均在函数 y=f (x) 的图像上. (1) 求数列{a n} 的通项公式及 S n 的最大值; (2)令b n=, 其中 n∈N +,求{ nb n} 的前 n 项和 T n. 1. 在等比数列中,a n>0且a n+ 2 =a n+3a n+ 1, 则公比 q 等于(). A. B.