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2． 椭圆的简单几何性质
图中椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
问题1：椭圆具有对称性吗？
提示：有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴，y轴为＋＝1(a>b>0)．
如下列图，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[一点通] 利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法．其关键是根据条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的关系式，利用解方程(组)求得参数．
3．椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，如此椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：由题意2a＝12，∴ae＝＝，
∴c＝2，∴b2＝62－22＝32，∴椭圆方程是＋＝1.
答案：D
4．求适合如下条件的椭圆的标准方程：
(1)与椭圆4x2＋9y2＝36有一样的焦距，且离心率为；
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(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－4)．
解：(1)将方程4x2＋9y2＝36化为＋＝1，可得椭圆焦距为2c＝＝，即＝，所以a＝5，从而b2＝a2－c2＝25－5＝20.
假如椭圆焦点在x轴上，如此其标准方程为＋＝1；
假如椭圆焦点在y轴上，如此其标准方程为＋＝1.
(2)依题意2a＝2·2b，即a＝2b.
假如椭圆焦点在x轴上，设其方程为＋＝1(a>b>0)，
如此有解得
所以标准方程为＋＝1.
假如椭圆焦点在y轴上，
设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，
如此有解得
所以标准方程为＋＝1.
椭圆的离心率问题
[例3] 如下列图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上一点，且MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°.试求椭圆的离心率．
[思路点拨] 通过条件MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°，得到Rt△MF1F2中边的关系，结合椭圆的定义建立参数a，b，c之间的关系，进而求出椭圆的离心率．
[精解详析] 设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，⊥F1F2，所以△MF1F2为直角三角形．
又∠MF1F2＝30°，所以|MF1|＝2|MF2|，|F1F2|＝|MF1|.
而由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a，
因此|MF1|＝，|MF2|＝，
∴2c＝×，即＝，
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即椭圆的离心率是.
[一点通] 求离心率的值或取值X围是一类重要问题，解决这类问题通常有两种方法：
(1)直接求出a和c的值，套用公式e＝求得离心率；
(2)根据题目条件提供的几何关系，建立参数a，b，c之间的关系式，结合椭圆定义以与a2＝b2＋c2等，消去b，得到a和c之间的关系，从而求得离心率的值或X围．
5．椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，＝2，如此椭圆的离心率是( )
.
.
解析：∵＝2，∴||＝2||.
又∵PO∥BF，∴＝＝，