文档介绍：对数与对数函数
*
第1页，本讲稿共32页
第二单元
函 数
第2页，本讲稿共32页
第11讲
对数与对数函数
第3页，本讲稿共32页
理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式，能将一般对数转化logax(a>0且a≠１)互为 ,它们的图象关于直线 对称，指数函数y=ax(a>0且a≠１)的定义域为{x|x∈R}，值域为{y|y>0},对数函数y=logax(a>0且a≠１)的定义域为{x|x>0}，值域为{y|y∈R}.
反函数
22
23
y=x
第13页，本讲稿共32页
题型一 指数、对数函数的运算问题
例1
指数、对数函数的运算问题
( )x (x≥4)
f(x+1) (x<4),则f(log23)= ;
(2)设3a=4b=36,则 + = .
(1)设函数f(x)=
1
第14页，本讲稿共32页
（1）因为log23<2，
所以f(log23)=f(1+log23)=f(2+log23)=
f(3+log23)=( )3+log23=( )3·( )log23=
× = .
（2）由3a=4b=36得a=log336,b=log436,再根据换底公式得
a=log336= ,b=log436= .
所以 + =2log363+log364=log36(32×4)=1.
第15页，本讲稿共32页
已知函数f(x)=lg (k∈R且k>0)，若函数f(x)在［10,+∞)上单调递增，求k的取值范围.
题型二 对数函数的性质问题
例2
这是一道含参数的对数结构的复合函数问题，根据函数f(x)的增减性，分析出真数的范围，转化为对数函数的大小比较问题.
第16页，本讲稿共32页
因为函数f(x)在［10,+∞)上单调递增,
所以 >0，即k> .
又f(x)=lg =lg(k+ ),
对任意的x1、x2,当10≤x1<x2时,有f(x1)<f(x2),
即lg(k+ )<lg(k+ ),
得 < ,即(k-1)( - )<0,
又因为 > ,所以k<1.
故k的取值范围为( ,1).
1
10
第17页，本讲稿共32页
若函数f(x)=loga(x3-ax)(a>0且a≠１)在区间(- ,0)内单调递增，则a的取值范围是.
令u=x3-ax,u′=3x2-a.
当a>1时,f(x)在(- ,0)内单调递增,必须u′>0,
即3x2-a>0在(- ,0)内恒成立，
即a<3x2恒成立，而0<3x2< ,
所以a≤0,与a>1矛盾.
第18页，本讲稿共32页
当0<a<1时,必须u′<0,
即3x2-a<0在(- ,0)内恒成立，
也即a>3x2,x∈(- ,0)内恒成立,从而a≥ ,
且(- )3-a(- )>0,得a> ,
综上，a的取值范围为{a| ≤a<1}.
3
4
复合函数在单调区间内首先应考虑有意义；复合函数y=logaf(x)的单调区间也是y=f(x).
第19页，本讲稿共32页
题型三 指数、对数函数的综合问题
例3
(2010·山东期末）设f(x)=log 为奇函数，a为常数.
（1）求a的值；
（2）求证：f(x)在(1,+∞)内单调递增；
（3）若对于[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)>( )x+m恒成立，求实数m的取值范围.
第20页，本讲稿共32页
(1)因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)
log =-log
= >0
1-a2x2=1-x2 a±1.
经检验，a=-1（a=1舍去）.
（2）（证法一）定义法.
任取x1>x2>1，所以x1-1>x2-1>0，
所以0< < <
log >log ,即