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【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。
图2-17图2-18
【分析】有约束的边界上可考虑采右
该应力分量满足平衡微分方程。
〔3〕将应力分量代入应力表示的相容方程
满足相容方程
〔4〕考察边界条件
①在主要边界上，应准确满足应力边界条件(2-15)
0
-1
0
0
0
1
0
0
代入公式〔2-15〕，得
②在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩
满足应力边界条件
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③在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、主矩，
其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效：
满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。
平面问题的直角坐标解答
【3-4】试考察应力函数在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?
【解答】⑴相容条件:
不论系数a取何值，应力函数总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).
⑵求应力分量
当体力不计时，将应力函数代入公式(2-24)，得
⑶考察边界条件
上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.
左右边界上；
当a>0时，考察分布情况，注意到，故y向无面力
左端:
右端:
应力分布如下列图，当时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩
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A
主矢的中心在矩下边界位置。即此题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。
偏心距e：
因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：
同理可知，当<0时，可以解决偏心压缩问题。
【3-5】取满足相容方程的应力函数为：⑴⑵⑶试求出应力分量〔不计体力〕，画出图3-9所示弹性体边界上的面力分布，并在小边界上表示出面力的主矢量和主矩。
【解答】〔1〕由应力函数，得应力分量表达式
考察边界条件，由公式〔2-15〕
①主要边界，上边界上，面力为
②主要边界，下边界，面力为
③次要边界，左边界x=0上，面力的主矢，主矩为
x向主矢：
y向主矢：
主矩：
次要边界，右边界x=l上，面力的主矢，主矩为
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x向主矢：
y向主矢：
主矩：
弹性体边界上面力分布与次要边界面上面力的主矢，主矩如下列图
⑵
将应力函数代入公式〔2-24〕，得应力分量表达式
，，
考察应力边界条件，主要边界,由公式〔2-15〕得
在主要边界，上边界上，面力为
在，下边界上，面力为
在次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件求得：
在左边界x=0，面力分布为
面力的主矢、主矩为
x向主矢：
y向主矢：
主矩；
在右边界x=l上，面力分布为
面力的主矢、主矩为
x向主矢：
y向主矢：
主矩：
弹性体边界上的面力分布与在次要上面力的主矢和主矩如下列图
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〔3〕
将应力函数代入公式〔2-24〕，得应力分量表达式
考察应力边界条件，在主要边界上应准确满足式〔2-15〕
①
②
次要边界上，分布面力可按〔2-15〕计算，面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得：
③左边界x=0上，面力分布为
④右边界上，面力分布为
面力的主矢、主矩为
x向主矢
y向主矢：
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主矩：
弹性体边界上的面力分布与在次要边界上面力的主矢和主矩，如下列图
【3-6】试考察应力函数，能满足相容方程，并求出应力分量〔不计体力〕，画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布〔在小边界上画出面力的主矢量和主矩〕，指出该应力函数能解决的问题。
【解答】〔1〕将应力函数代入相容方程〔2-25〕
，显然满足
〔2〕将代入式〔2-24〕，得应力分量表达式
〔3〕由边界形状与应力分量反推边界上的面力：
①在主要边界上〔上下边界〕上，，应准确满足应力边界条件式〔2-15〕，应力
因此，在主要边界上，无任何面力，即
②在x=0，x=l的次要边界上，面力分别为：
因此，各边界上的面力分布如下列图：
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③在x=0，x=l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：
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