文档介绍：空间中线面位置关系例题设计
例1、［2021·全国卷] 如图1－3所示，四棱锥P—ABCD中,
∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是边长为2的等边三角形．
图1－3
空间中线面位置关系例题设计
例1、［2021·全国卷] 如图1－3所示，四棱锥P—ABCD中,
∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是边长为2的等边三角形．
图1－3
（1)证明:PB⊥CD；(2)求点A到平面PCD的间隔 ．
解：(1）证明：取BC的中点E,联结DE，那么四边形ABED为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O。联结OA，OB，OD，OE。由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD,
所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点．故OE⊥BD，从而PB⊥，E是BC的中点，所以OE∥CD。
因此PB⊥CD.
(2）取PD的中点F，联结OF，那么OF∥PB.
由(1）知，PB⊥CD，故OF⊥CD。
又OD＝BD＝，OP＝＝，
故△POD为等腰三角形，因此OF⊥PD.
又PD∩CD＝D，所以OF⊥平面PCD.
因为AE∥CD，CD平面PCD,AE平面PCD，所以AE∥平面PCD。
因此O到平面PCD的间隔 OF就是A到平面PCD的间隔 ，而OF＝PB＝1，
所以点A到平面PCD的间隔 为1.
例2、[2021·全国卷］ 正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，那么CD和平面BDC1所成角的正弦值等于（ ）
A. B。 C。 D。
[解析] A 如图，联结AC，交BD于点O。由于BO⊥OC，BO⊥CC1，可得BO⊥平面OCC1，从而平面OCC1⊥平面BDC1，过点C作OC1的垂线交OC1于点E，根据面面垂直的性质定理可得CE⊥平面BDC1,∠CDE即为所求的线面角．设AB＝2，那么OC＝，OC1＝＝3，所以CE＝＝＝，所以sin ∠CDE＝＝.
例3、［2021·江苏卷］ 如图1－2所示,在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4,点D是BC的中点．
（1）求异面直线A1B和C1D所成角的余弦值；
(2）求平面ADC1和平面ABA1所成二面角的正弦值．
图1－2
解:(1）以A为坐标原点，建立如以下图的空间直角坐标系A－xyz，那么
A（0，0，0），B（2，0，0),C（0，2，0)，D(1，1,0)，A1（0，0，4),
C1（0，2，4），所以＝（2，0，－4），＝（1，－1，－4)．
因为cos<，〉＝＝＝，所以异面直线A1B和C1D所成角的余弦值为.
（2）设平面ADC1的法向量为n1＝(x,y，z），因为＝（1，1，0)，
＝（0，2，4），所以n1·＝0，n1·＝0，即