文档介绍：函数对称性、周期性和奇偶性规律一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、周期性:对于函数)(xfy?,如果存在一个不为零的常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有)()(xfTxf??都成立,那么就把函数)(xfy?叫做周期函数,不为零的常数 T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、对称性定义(略),请用图形来理解。 3、对称性: 我们知道:偶函数关于 y(即 x =0)轴对称,偶函数有关系式)()(xfxf??奇函数关于( 0,0)对称,奇函数有关系式 0)()(???xfxf 上述关系式是否可以进行拓展?答案是肯定的探讨:(1)函数)(xfy?关于ax?对称?)()(xafxaf???)()(xafxaf???也可以写成)2()(xafxf??或)2()(xafxf???简证:设点),( 11yx 在)(xfy?上,通过)2()(xafxf??可知,)2()( 111xafxfy???, 即点)(),2( 11xfyyxa??也在上,而点),( 11yx 与点),2( 11yxa?关于 x=a 对称。得证。若写成:)()(xbfxaf???,函数)(xfy?关于直线 22 )()(baxbxax ??????对称(2)函数)(xfy?关于点),(ba 对称?bxafxaf2)()(????bxfxaf2)()2(????上述关系也可以写成或bxfxaf2)()2(???简证: 设点),( 11yx 在)(xfy?上,即)( 11xfy?,通过 bxfxaf2)()2(???可知, bxfxaf2)()2( 11???, 所以 1112)(2)2(ybxfbxaf?????, 所以点)2,2( 11ybxa??也在)(xfy?上,而点)2,2( 11ybxa??与),( 11yx 关于),(ba 对称。得证。若写成: cxbfxaf????)()( ,函数)(xfy?关于点)2 ,2 ( cba?对称(3) 函数)(xfy?关于点 by?对称: 假设函数关于 by?对称,即关于任一个 x 值,都有两个 y 值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于 by?对称。但在曲线 c(x,y)=0 ,则有可能会出现关于 by?对称,比如圆 04),( 22????yxyxc 它会关于 y=0 对称。 4、周期性: (1)函数)(xfy?满足如下关系系,则 Txf2)(的周期为 A、)()(xfTxf??? B、)( 1)()( 1)(xf Txfxf Txf?????或 C、)(1 )(1)2 (xf xfTxf????或)(1 )(1)2 (xf xfTxf????(等式右边加负号亦成立) D、其他情形(2 ) 函数)(xfy?满足)()(xafxaf???且)()(xbfxbf???, 则可推出)](2[ )]2([ )]2([)2()(abxfbxabfbxabfxafxf?????????????即可以得到)(xfy?的周期为 2(b-a) ,即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于 x轴两条直线对称, 则函数一定是周期函数”(3 )如果奇函数满足)()(xfTxf???则可以推出其周期是 2T ,且可以推出对称轴为 kT Tx22 ??)(zk?,根据)2()(Txfxf??可以找出其对称中心为)0( kT,)(zk?(以上0?T ) 如果偶函数满足)()(xfTxf???则亦可以推出周期是 2T ,且可以推出对称中心为)0,22 ( kT T?)(zk?,根据)2()(Txfxf??可以推出对称轴为 kT Tx2??)(zk?(以上0?T ) (4)如果奇函数)(xfy?满足)()(xTfxTf???(0?T ),则函数)(xfy?是以 4T 为周期的周期性函数。如果偶函数)(xfy?满足)()(xTfxTf???(0?T ),则函数)(xfy?是以 2T 为周期的周期性函数。定理 3 :若函数?? xf 在R 上满足?? xafxaf???)( ,且?? xbfxbf???)( (其中 ba?),则函数?? xfy?以?? ba?2 为周期. 定理 4 :若函数?? xf 在R 上满足?? xafxaf????)( ,且?? xbfxbf????)( (其中 ba?),则函数?? xfy?以?? ba?2 为周期. 定理 5:若函数?? xf 在R上满足?? xafxaf???)( ,且?? xbfxbf????)( (其中ba?), 则函数?? xfy?以?? ba?4 为周期. 二、两个函数的图象对称性 1、)(xfy?与)(xfy??关于 X轴对称。换种说法: )(xfy?与)(xgy?若满足)()(xgxf??,即它