文档介绍：假设有一个三维空间,显然空间的每一个点都能用坐标( x, y,z )唯一地标识出来。假如给空间的每一个点都赋予一个数字, 那么整个空间就充满了数字。此时, 这个充满数字的三维空间在数学上就叫做“场”。上述的场叫做标量场, 因为单纯的一个数字叫做“标量(scalar) ”。如果我们给空间的每一个点都赋予一个矢量(vector) ,即一个既有大小,又有方向的东西,那么整个空间就变成充满了矢量,这个空间就叫做矢量场。矢量场中的每一点都对应于一个矢量, 而矢量能够根据规则进行各种运算, 例如加、减和乘等(数学上没有矢量的除法)。显然, 我们可以对整个矢量场中的每一个矢量同时进行某种运算, 例如同时将它们乘以一个数, 或加上一个数等。但是我们可以对整个矢量场进行一些更复杂的运算, 其中散度就是其中一种。三维空间中的一个矢量可以沿 x、y和z 方向分解,现假设空间的某一点被赋予的矢量能够沿着这 3 个方向分解为大小为 P、Q和R 的三个分量,表示为( P,Q,R) 。注意,由于空间中每个点被赋予的矢量一般来说是不同的, 所以 P、Q和R 的大小在空间的不同的点一般有不同的值,也就是说 P、Q和R 中每一个都是 x、y和z 的函数。对三维矢量场来说,我们可以对其中一个点的矢量,假设为( P,Q,R )进行以下操作: 1 、求出 dP/dx + dQ/dy + dR/dz 的值,其中 dP/dx 表示求 P对x 的一阶偏导数,其余雷同; 2 、将这个值赋予这个点对整个矢量场的每个点均进行以上运算,就等于给整个三维空间的每个点都赋予了一个值, 于是我们就得出了一个新的标量场,这个标量场就叫做原来的矢量场的散度(divergence) ,这种运算就叫做“对矢量场取散度”。除了散度运算以外,我们还可以对矢量场进行其它的运算,例如旋度运算(curl) 。跟散度运算不同, 旋度运算的结果不是标量场, 而是另一个矢量场。旋度运算的规则比较繁复,但是网上很多地方都有解释,这里就不讲了。而涡度就是一个速度场的旋度, 显然涡度是一个矢量场,而散度是一个标量场, 这就是两者的本质区别了。对电场散度和旋度的理解首先在说明散度和旋度之前,先说说对于曲面积分和曲线积分的理解。对曲面的积分有两类(第一类曲面积分和第二类曲面积分) ,这个差别主要在于矢量性, 第一类曲面积分并不带矢量性, 比如知道面密度和面积的微元, 对密度求积分得到整个面积的质量,而第二类曲面积分带有矢量性,比如知道流速 V=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 和小微元面积的单位法向量 n=(cosA,cosB,cosC) ,对流速求积分得到单位时间的流量,但是后者的流速和小微元面积带有方向。因此可以说第二类曲面积分就是对于向量点积的积分, 第一类面积分就是对一般数乘的积分,而第一类曲面积分就是第二类曲面积分的特殊情况。由曲面积分可以引入高斯公式: 对曲线积分也有两类(第一类曲线积分和第二类曲线积分) ,对于曲线积分其实和曲面积分一样, 第一类和第二类的区别依然在于矢量性。比如, 在第一类曲线积分的一个应用是求变线密度弯曲细杆的质量, 而第二类是求变力沿曲线做功( 力的方向和大小都在随着位移变化)。由曲线积分可以引入格林公式: 这些概念我们可以看出, 高斯公式是三重积分和曲面积分的运算关系, 格林公式是