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第四节、指数函数
一、初中根式的概念;
如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根;
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念word
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第四节、指数函数
一、初中根式的概念;
如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根;
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念
一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,且∈*.
当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数.此时,的次方根用符号表示。
.式子叫做根式,这里叫做根指数,叫做被开方数。
当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0)。
由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。
思考:=一定成立吗?
结论:当是奇数时,
当是偶数时,
例1、(1)
(2)=
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2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义
规定:
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.
3.有理指数幂的运算性质
(1)·;
(2);
(3).
无理指数幂:一般地,无理数指数幂是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
对于根式的运算,简单的问题可以根据根式的意义直接计算,一般要将根式化为分数指数幂,利用分数指数幂的运算性质来进行计算。
例2、化简(1)
(2)
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例3、已知函数,若则a=( )
例4、已知( )
二、指数函数及其性质
(一)指数函数的概念
一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R。
注意:(1)指数函数中的系数为1;
(2)底数是大于0且不等于1的常数。
(3)指数就是自变量x,是变量。
例5、函数为指数函数,求的取值X围。
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(二)指数函数的图象和性质
研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质.
研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.
1.在同一坐标系中画出下列函数的图象:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2.从画出的图象中你能发现函数的图象和函数的图象有什么关系?可否利用的图象画出的图象?
3.从画出的图象(、和)中,你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律?
4.你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗?
总结:(1)指数函数对于,函数增减性完全相反,因而在做题时,千万不要忘记分类讨论的思想;
(2)指数函数恒过(0,1)点;
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