文档介绍：第四章根轨迹分析法
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l  系统中某一参数在全部范围内（0→∞）变化时，
系统闭环特征根随之变化的轨迹。
l  可以推广到其它参数的变化－广义根轨迹。
l  可用于单变量系统和多变量系统。
l ×
×
×
●
0
﹣1
﹣2
﹣5
一条始于开环极点，止于开环零点，
另两条始于开环极点，止于无穷远处。
规则四、实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实数开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹。
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渐近线：根轨迹有n-m条渐进线。
渐近线与实轴的夹角为：
渐近线与实轴的交点为：
l  它们是针对n-m条趋向无穷远点的根轨迹而设立的
l 如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状
规则五、
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规则六、
性质: (重点讨论实轴上的分离点）
在此点上必出现重根。
利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴
上两相邻开环极点间时，必有一分离点。
若当根轨迹出现在两相邻开环零点间（包括无穷远处）时，必有一分离点。
×
×
K=0
K=0
K=∞
K=∞
分离点
分离点
根轨迹的分离点：当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离点
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由求极值的公式求出：
它们可以利用代数重根法或极值法求出。(介绍后者)
在实轴根轨迹上，求使K达到最大（最小）值的s 值:
注意：求出结果，需经判断，保留合理解。
如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。
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在例题4-4中，
解出：
对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐标为（-,j0）处。
×
×
×
●
0
﹣1
﹣2
﹣5
1
－
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规则七、根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统出现虚根。
在例4-4中，系统闭环特征方程式为：
即：
令虚轴的交点：
代入上式，得
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与虚轴的交点为
例4-4的根轨迹如图。
×
×
×
●
0
﹣1
﹣2
﹣5
1
K=.084
﹣.447
1、画出开环零极点
2、确定根轨迹根数
3、画出实轴上的根轨迹
4、求渐进线（n≠m）
5、求分离点
6、求与虚轴交点
7、画出根轨迹
8、求出特殊点对应的K值
K值由根轨迹幅值条件求出：
如分离点（-,j0）处的K值：
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规则八、
根轨迹的出射角：
在开环复数极点px处，根轨迹的出射角为：
在开环复数零点zy处，根轨迹的入射角为：
若系统存在复数开环零极点，需要知道根轨迹从此点出发（进入）的方向角度。可根据相角条件求出。
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例4-5
设系统开环零极点图如图。
其中
●
×
×
×
×
图4-7
确定根轨迹离开共轭复数根的出射角。
根据公式：
考虑到根轨迹的对称性，
出射角φp3= -5°，φp4= 5°
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例4-6
作 的根轨迹。
开环极点3个：
分析：n=3，m=0, 没有开环零点。
(在s平面上的极点处标以“×”，)
根据规则一、二 、三 ：
根据规则四，实轴上0→-∞为根轨迹。
分别起始于3个开环极点，均终止于无穷远处。
根轨迹有三个分支：
×
×
×
图4-8
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根据规则五，求渐近线:n-m=3条
例4-6
渐近线与实轴夹角：
渐近线与实轴的交点：
×
×
×
-
﹣60°
没有分离点。
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例4-6
根据规则七：求出根轨迹与虚轴的交点。
闭环特征方程：
K=256
×
×
×
-
令s=jw,代入上式。令实部和虚部同时等于0，可解得
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例4-6
根据规则八求起始角：
对P2，根轨迹的起始角为：
由对称性知：-4-j4处的射角为45°
×
×
×
-
根轨迹完成。
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例4-7
作 的根轨迹。
该系统 n=3 ，m=1。
根据规则一、二、三：
一个零点：
有三个开环极点：
●
-2