文档介绍：结构力学第九章 薄壁杆件扭转
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§9－1 概述
薄壁杆件是指横截面上壁的厚度较薄的杆件，其三个尺度通常满足如下关系：
式中，t—壁厚；b—截面的最大宽度；l—杆长。
薄壁截面视其壁厚中心线是否封闭而分是一根薄壁杆件。
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§9－2 薄壁杆件的自有扭转
开口薄壁杆件的截面可以看作由若干狭长矩形截面所组成。利用狭长矩形截面的杆件自有扭转时的计算公式和如下两个假定可导出薄壁杆件自有扭转的计算公式。这两个假定是：
（1）假定开口薄壁杆件自由扭转时，截面在其本身平面内形状不变，即在边形过程中，截面在其本身平面内的投影只作刚性平面运动。此即为刚周边假定；
（2）假定薄壁杆件中面上无剪切变形。
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§9－2 薄壁杆件的自有扭转
开口薄壁杆件自由扭转时的扭率计算公式如下：
式中，φ‘—杆件的扭率（单位长度上的扭角）；Ms—扭矩；G—剪切模量；It—截面扭转惯性矩（扭转常数）。
式中，hi、ti—截面上第i个狭长矩形的高度（长边）和厚度（短边）。若截面的壁厚中心线是一根曲线，则
式中，si—壁厚中心线的总长
（9-2）
（9-3）
（9-4）
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§9－2 薄壁杆件的自有扭转
式中，τs—截面上的扭矩剪应力（图9-2）；t—壁厚。
式（9-5）表明，截面上最大剪应力将发生在壁厚最大处的表面上。
（9-5）
(图9-2)
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§9－2 薄壁杆件的自由扭转
可以认为，闭口薄壁杆件自由扭转时截面上的剪应力τ沿壁厚是均匀分布的。记
称q为剪流。现在来确定q沿截面的变化规律。图9-3b所示的为一个变厚度单元，由于自由扭转时截面上无正应力，即轴向力为零，所以有：
（9-6）
(图9-3)
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或
上式说明剪流q沿截面为常数。据此，最大剪应力将发生在壁厚最小处，这与开口薄壁杆件不同。
下面讨论如何计算剪流q。如图9-3a所示，剪流q在微元ds上引起的力为qds,它绕o点的力矩为：
ds所对的扇形面积为：
（9-7）
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§9－2 薄壁杆件的自由扭转
沿整个截面积分可得总扭矩为：
式中A——闭口截面壁厚中心线所围的总面积。从而沿截面的剪流为：
再来推导扭率和扭矩常数计算公式。若从薄壁杆件中取出长度为dx的微段，其受扭矩Ms作用产生的扭角为dφ,则扭矩所做的功为：
（9-8）
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§9－2 薄壁杆件的自由扭转
微段扭转变性能为：
由dW=dV，可得扭率：
比较式（9-9）与式（9-2），得单闭室截面的扭转常数计算公式：
（9-9）
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§9－2 薄壁杆件的自由扭转
式（9-9）中Ms用2qA代换，可得
上式称为环流方程式。
对于具有n个闭室的薄壁截面（图9-4），设在扭矩Ms作用下各闭室的剪流为qi（i=1、2、3、…）,并规定这些剪流沿反时针方向为正，那么任意两相邻室公共壁上的剪流为该两室剪流之差。
（9-10）
（9-11）
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§9－2 薄壁杆件的自由扭转
由式(9-8)，可得每一闭室上的扭矩：
a
c
d
b
q1
q2
q3
qn
q4
式中，i=1、2、3、…,
（9-12）
(图9-4)
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§9－2 薄壁杆件的自由扭转
这些扭矩之和应等于整个截面上的扭矩Ms，即
式中，Ai——第i个闭室壁厚中心线所围的面积。仅由式(9-12)不能确定剪流qi（i=1、2、3、…n),还必须利用变形协调条件才能确定剪流 qi。
刚周边假定对多闭室薄壁横截面仍然使用。据此，各闭室具有相同的扭率，且等于杆件的扭率φ’。对于图9-4所示的每一闭室，应用环流方程式(9-11)，例如对于第2室，有
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§9－2 薄壁杆件的自由扭转
或写成
上式写成通用形式为：
式中，i=1,2,3,…,n；
绕第i室的周线积分
沿第i与第k室的公共壁积分
（9-13）
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令
式中，i=1,2,3,…,n；式(9-15)是关于未知数
的n元一次方程组，当薄壁截面的形状、尺寸以及材料已定时， 的所有系数以及方程式等号右边的常