文档介绍：迭代法的收敛条件
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解线性方程组的迭代法
由特征值的定义容易得出，矩阵
矩阵的谱半径与范数有以下关系。
的谱是
因而
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解线性方程组的迭代法
定理本讲稿共43页
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解线性方程组的迭代法
且至少有一个i
值，使上式中不等号严格成立，则
称为A弱对角占优阵。
如果矩阵Ａ不能通过行的互换和相应列的互
换成为形式
(2) 若
n阶方阵
满足
其中
为方阵，则称A
为不可约.
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解线性方程组的迭代法
如例３的系数矩阵矩阵
是可约的.
为n阶方阵
若存在非空集
使得当
而
显然,若A是可约的,则A所对应的线性方程组
可化为低阶方程组.
时有
则A是可约阵.
是不可约的. 而
一般地，设
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解线性方程组的迭代法
几个常用的收敛条件.
设有线性方程组
下列结论成立：
1. 若
A为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵,则
Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛.
2. 若A为严格对角占优阵,
则松弛法收敛.
3. 若A为对称正定阵,
则松弛法收敛.
因此有: 若A为对称正定阵,则松弛法收敛的充分必要
条件是
4. 若A为对称正定阵,则Gauss-Seidel迭代法收敛.
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解线性方程组的迭代法
例: 考虑
A为严格对角占优阵，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel
迭代均收敛.
又如例２中，系数矩阵
非严格对角占优,但
A为对称正定矩阵,
故松弛法收敛。
上述结论的证明可参看[1],[7].
其中
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例 对线性方程组
讨论Jacobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法的收敛性.
解:
Jacobi迭代的迭代矩阵为
故Jacobi迭代法收敛.
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Gauss-Seidel迭代矩阵
故Gauss-Seidel迭代法收敛.
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解线性方程组的迭代法
讨论用三种迭代法求解的收敛性。
解:
例4
设有方程组
其中
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解线性方程组的迭代法
故不能用条件1判别Jacobi迭代的收敛性.
因A为对称矩阵,且其各阶主子式皆大于零,故A为
对称正定矩阵,由判别条件3, Gauss-Seidel迭代法与
松弛法
均收敛.
A不是弱对角占优,
Jacobi迭代法的迭代矩阵为
故推论1不能用
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解线性方程组的迭代法
其特征方程
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解线性方程组的迭代法
值得指出的是，改变方程组中方程的次序，即将系
系数矩阵作行交换，会改变迭代法的收敛性。例如
方程组
的系数矩阵为
有根
因而
Jacobi迭代法不收敛.
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解线性方程组的迭代法
Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代的迭代矩阵分别为
它们的谱半径为
这两种迭代均不收敛.
但若交换两个方程的次序
得原方程组的同解方程组
其中
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解线性方程组的迭代法
显然,
是严格对角占优阵,
因而对方程组
用Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代
求解均收敛.
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解线性方程组的迭代法
误差估计
设有迭代格式
若
收敛于
则有误差估计式
证明:
因为
故
于是
存在,
方程组
(即
有惟一解
)
且
从而有
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解线性方程组的迭代法
取范数得
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解线性方程组的迭代法
又因为
于是
取范数得
移项得
又
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解线性方程组的迭代法
将(3-28)代入(3-27)得
有了误差估计(3-26),
根据事先给定的精度
可以估算出迭代的次数k
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解线性方程组的迭代法
例如对迭代格式
其中
取
有
代入式(3-29)得
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解线性方程组的迭代法
所以需要迭代13次才能保证各分量误差绝对值
不超过
实际计算时, 常常采