文档介绍：新人教版九年级上二次函数知识点总结
知识点一：二次函数的定义
：
一般地，形如了 =破2+故;（ a, b, c是常数，。。0）的函数，叫做二次函数.
其中。是二次项系数，力是一次项系数，。是常数项.
知识点二：，抛物线开口向上，对称轴为》=-立，顶点坐标为[一4w 一 Zr], 2a "2。 4a J
当x<-也时，y随x的增大而减小；当x>-2■时，y随x的增大而增大；当x = -— 2a 2a 2a
y有最小值土
（2）当。<0时，抛物线开口向下，对称轴为》=-之，顶点坐标为[一匕 4彼一Zr].
la "2。 4a J
当x<-也时，y随x的增大而增大；当x>-业■时，y随x的增大而减小；当x =-业■时, 2a 2a 2a
y有最大值土々.
二次函数y = ax2+bx + c图象的画法
画精确图五点绘图法(列表-描点-连线)
利用配方法将二次函数y^ax2 +bx + c化为顶点式y^a(x-hf +k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后 在对称轴两侧，左右对称地描点画图.
画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y轴的交点，顶点.
二次函数图象的平移
平移步骤：
将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-hf + k,确定其顶点坐标(h, k)；
向上(k>0)【或向下伙<0)】平移周个单位
A y=ax2+k
向右。>0)[:或左(/K0)] 平移囹个单位
向右(h>0)【或左(方<0)】 平移KI个单位
向右(h>0)【或左(方<0)】 平移KI个单位
向右。>0)【或左(/i<0)】 平移阳个单位
向上(*>0)【或下Q<0)】 平移囹个单位
向上(*>0)【或下Q<0)】 平移囹个单位
可以由抛物线"亍经过适当的平移得到具体平移方法如下：
向上(fc>0)【或下侬<0)】平移肉个单位
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”.
用待定系数法求二次函数的解析式
一般式：尹=次+於+、A的值，通常选择一般式.
顶点式：^ =认工-辞+，通常选择顶点式.
交点式：V = a(x-xi)(x-x2).已知图象与才轴的交点坐标二1、x2,通常选择交点式.
求抛物线的顶点、对称轴的方法
①公式法：y = ax1+bx+c = ^x + ^} +4ac~b2 , 顶点是(—旦,4ac-b，),对称轴 la) 4a 2a 4a
b
是直线x = ・
②配方法:运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y = a(x-/z)2 +*的形式，得到顶点为(h,k),
对称轴是直线x = h.
③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分 线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
抛物线y - ax1 +bx+ c中，a,b,c的作用
。决定开口方向及开口大小，这与y = ax1中的。完全一样.
力和。共同决定抛物线对称轴的位置
由于抛物线y = ax2 +bx+c的对称轴是直线工=——，故
2a
如果b = 0时，对称轴为y轴；
b
如果一>0 (即b同号)时，对称轴在y轴左侧；
a
b ,
如果一<0 (即。、力异号)时，对称轴在y轴右侧.
a
c的大小决定抛物线y = ax2 + bx+ c与y轴交点的位置
当尤=0时，y = c,所以抛物线y = ax2 +bx+c与y轴有且只有一个交点(0, c ),故
如果。=0,抛物线经过原点；
如果c>0,与y轴交于正半轴；
如果。< 0 ,与y轴交于负半轴.
知识点三：二次函数与一元二次方程的关系
- ox2 +bx+c,当y = 0时，得到一元二次方程ax2 +bx + c = 0,那么一元二次方程的 解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次 方程根的情况.
当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时^=b2-4ac>0,则方程有两个不相等实根；
当二次函数的图象与X轴有且只有一个交点，这时△ =8? -4ac = 0,则方程有两个相等实根;
当二次函数的图象与x轴没有交点，这时^=b2-4ac <0,则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系:
A =朋- 4ac （a。0）
A >0
A =0
A <0
y = ax2 +bx+c s>°）的图象
o\ A x
V
X
ax2 +bx + c =0
（。> 0）的解
方程有两个不等实数解
方程有两个相等实数解
b
x =-——