《数学分析》习题 第五章 微分中值定理及应用.doc

文档介绍：第五章微分中值定理及应用
§1 微分中值定理
:(1)方程(是常数)在区间内不可能有两个不同的实根;
(2)方程(为正整数,为实数)当为偶数时至多有两个实根;当为奇数时至多有三个实根。
,,则存在,使
:
(1)
(2)等号成立当且仅当;
(3)
(4)
(5)
,证明
,求证:任意,有
函数在可导,其中,证明:存在,使得
,且。求证:存在,使。
,求证:在两零点之间一定有的零点.
,除点外可导,且,求证:存在,且.
,且,为介于和之间的任一实数,则至少存在一点,使.
,且单调,证明在连续.
,和在连续,在可导,证明存在,使得
.
,且,证明:在上取到它的最小值.
,.
(1)若存在,使,则在上达到最大值;
(2)如果存在,使,能否断言在上达到最大值?
,存在,.
:.
§2 微分中值定理及其应用
:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)

试证对下列函数有:
(1)
(2)
,求证:
:
(1)
(2)
(3)
(4)
§3 函数的升降、凸性和函数作图
:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

(1)证明:是函数的极小值点;
(2)说明在的极小值点处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.
:若函数在点处有,则为的极大值点.
,试定出和的值;并问这时
在和是取得极大值还是极小值;
(1) 求函数在上的极值;
(2) 求方程有两个正实根的条件.
,在实轴上连续可微,且
求证:的两实根之间一定有的根.
:
(1)
(2)
(3)
(4)
.
,为何值时,点为曲线的拐点?
:
(1) 若为下凸函数,为非负实数,则为下凸函数;
(2) 若、均为下凸函数,则为下凸函数;
(3) 若为区间上的下凸函数,为上的下凸递增函数,,则为上的下凸函数.
,证明:若为的极小值点,则为在上唯一的极小值点.
:
(1) 对任意实数