文档介绍：对数、对数函数
高一数学
主讲教师：田美圣
§2．7 对数
一、基础知识要求
1．理解对数的概念，能进行对数式与指数式的互化
2．掌握对数的运算性质，理解推导对数运算法则的依据和过程，并会用语言叙述法则。从而记住这些法则。
gau（u是关于x的函数，且u∈[m,n]）的最大或最小值。
例6．比较下列各组中两个值的大小
(1) Log３4, log65 (2) ,
(3) logaπ, logae (a0且a1)
解：（1）∵ylog3x在（0， ∞）上是增函数
∴ log34log331
∵ylog6x在（0， ∞）上是增函数
∴log65log661
∴log34log65
(2) 
(3) 当a1时，ylogax在（0， ∞）上是增函数。
∵πe ∴logaπ>logae
当0a1时，ylogax在（0， ∞）上是减函数
∵πe, ∴logaπlogae
综上可知。当a1时，logaπlogae;
当0a1时，logaπlogae.
［点评］比较两个对数型的数的大小，①先看是否同底，同底时，在看底大于1还是大于零且小于1，确定相应对数函数的单调性即可比较大小。②不同底时，在两数间插入一个数（如1或0等）如（1）或（2）再利用对数函数单调性间接比较大小。③当底为字母a时，要分a1和0a1两种情况。

(2)y loga(ax-1) (a0且a1)
解：（1）要使函数式有意义，必须且只须
即:
所以函数的定义域为（ 3， 2）∪（ 2，1）
（2）由ax1 0，得ax1
若a1, 则x0,
若 0a1,则x0.
∴当a1时，函数定义域为（0， ∞）
当0a1时，函数定义域为（ ∞，0）
[点评]求函数定义域的方法小结
①分母不能为零
②偶次方根的被开方数大于等于零
③对数的真数必须大于零
④指数函数、对数函数的底数要满足大于零且不等于1
⑤实际问题有意义
例8 函数y  loga 的图象恒过定点P，则点P坐标为_____________
解析：由对数函数的性质我们知道ylogax必过点(1,0)，即本题函数中，当 1，即：x－2时，y0 ,
∴P点坐标为（ 2，0）
-1
u
4
y
［解析］设u(x)  43xx²,
.由43xx²0 x²3x40
解得： 1x4
又∵u(x) x²3x4 (x )²
是对称轴为x ，开口向下的抛物线，如图
u(x)在（  1， ]上是增函数。
在［，4)上是减函数。
例9．求函数y  ln（43x－x²）单调递增区间
又∵ylnu(x)是定义域上的增函数，
根据复合函数的单调性，［同增异减］
yln(43x-x²)在（  1， ]上是增函数。
∴［答案］（  1， ]
［点评］对于函数y  f［g（x）］, 若f（x）与g（x）在区间［a，b］上都有定义，则当f（x）在［a,b］上为增函数时，f[g(x)]与g（x）在［a,b］上的单调性一致；当f（x）在［a,b］上为减函数时，f[g(x)]与g（x）在［a,b］上的单调性相反。简称“同增异减”。
例10．函数f（x） loga（x²2x3） (a0,a1)
在［，2］上的最大值比最小值大2，则常数a的值是__________
［解析］设tx²2x3 (x∈[ ,2]),
是对称轴为x1,开口向上的抛物线。
∴t(x1)²2. 如图：
t(2)  3, ∴t∈[2,3]
(1,2)
(2,3)
x
t
0
2
当a>1时，由f（t） logat在［2，3］上是增函数
∴ymax loga3与ymin loga2
∴ymaxymin loga3loga2 2
loga  2
∴a² 又∵a0∴a
当0<a<1时，由f（t） logat在［2，3］上是减函数
∴ymax loga2与ymin loga3∴ymaxymin loga2loga3=2
loga  2 ∴a² ∴a
[答案]