文档介绍：毕卡逐次逼近法在定理证明中的应用
摘要本文用毕卡逐次逼近法及数学分析知识,证明“隐函数存在定理”和一阶方程初值问题解的非局部存在性定理。
一·毕卡逐次逼近法证明隐函数存在定理
定理1· 设满足下列条件:
(I)在上连续;
(II)(通常称为初始条件)
(III)对,恒有;
(IV)在D上:即对D上任意两点,不等式
……(1)
恒成立,L是与和无关的正常数()。
则在区间唯一确定一个隐函数,满足。这个函数在上连续可微。其中
……(2)
……(3)
证明:若在上能唯一确定可导的隐函数,则有,方程两边对x求导,得
。
由,得。
因此,在上能确定唯一可导的隐函数,等价
于初值问题
……(*)
在上有唯一解。
简记,下面分4段证明之。
(1) 构造一个近似解的序列。
用……(4)
代替中的y,则
……(5)
其右边是的已知函数,对(5)两边积分(显然在D上连续,故可积),并令它满足
于是得到……(6)
它区间上连续。
一般来说,它并不正好是(*)的解,称它为(*)的第1次近似解,记为
……(7)
并称(4)为(*)的第0次近似解。
现在估算由(7)确定的函数的界限:
……(8)
所以,当时,有,即有。
这就推知,当时,,于是有定义,并且是x在
上的连续函数。
考虑得到第2次近似解

同理可证,当时,有,即
如此下去,可得到第n次近似解:
……(9)
易知当时有
……(10)
从而。由归纳法,定义了无穷序列
, ,, …,,………(11)
每个函数在连续,且, (=0,1,2,……)
(2)· 证明{}在上一致收敛。
当时,

(n=2,3,……) ……(12)
由数学归纳法易证明
……(13)
事实上,当n=1时,由(8)知(13)成立;
假设,当n=k时成立,即
则由(12)知
=
即证明了(13)当n=k+1时也成立。
由(13),当时,有
易知,正项级数收敛,由-判别法知级数在
上一致收敛。即在上一致收敛,将其极限函数记为
即, ……(14)
又连续函数的一致收敛极限函数也必定是连续函数,故在上连续,且,
所以当时,。
(3)· 证明上述的确是(*)的解。

即= ……(15)
从而有,
(4)·证明(*)的解的唯一性。
设与都是(*)的解,公共区间为,则有
……(16)
……(17)
由(16)-(17)得
()
记, ……(18)
于是,上式可改写为,
两边乘以,即有

两边从到积分,且由得到,又,故。又由(18)知,所以知。
同理可证当时,。
综上知,当时,,求导得, 即有,。
这就证明了只有一个解满足(*).
由以上的(1),(2),(3),(4)和证明开始处的分析知,在上唯一确定隐函数且满足,同时在上连续可导。
证毕。
二·毕卡逐次逼近法证明一个非局部存在定理
[2]中有一个一阶方程初值问题解的非局部存在性定理。原文中的