文档介绍：复变函数与积分变换复变函数
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第五章留数
1. 孤立奇点
2. 留数
3. 留数在定积分计算上的应用
4. 对数留数与辐角原复变函数与积分变换复变函数
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第五章留数
1. 孤立奇点
2. 留数
3. 留数在定积分计算上的应用
4. 对数留数与辐角原理
5. 第五章小结与习题
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第四节对数留数与辐角原理
对数留数
1
辐角原理
2
小结与思考
4
路西定理
3
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一、对数留数
1. 定义
具有下列形式的积分:
说明:
1) 对数留数即函数 f(z)的对数的导数
在C内孤立奇点处的留数的代数和;
2) 函数 f(z)的零点和奇点都可能是
的奇点.
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2. 定理一
内零点的总个数, P为 f(z)在C内极点的总个数.
其中, N为 f(z)在C
且C取正向.
注意: m级的零点或极点算作m个零点或极点.
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证
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[证毕]
由以上所述和留数定理，得
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二、辐角原理
.
不一定为简单闭曲线, 其可按正向或负向绕原
点若干圈.
1. 对数留数的几何意义
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单值函数
等于零
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结论:
(k总为整数)
对数留数的几何意义是绕原点的回转次数k
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由定理一及对数留数的几何意义得
可计算f(z)在C内零点的个数
此结果称为辐角原理
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2．定理二 (辐角原理)
如果 f(z)在简单闭曲线C上与C内解析, 且在
C上不等于零, 那么 f(z)在C内零点的个数等于
乘以当z沿C的正向绕行一周 f(z)的辐角的改变量.
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三、路西定理
定理三(路西定理)
说明:
利用此定理可对两个函数的零点个数进行比较 .
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证
在C内部解析
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[证毕]
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例1 试证方程
证
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在圆内的零点数为n
在圆内的零点数也为n
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例2
对数留数.
解
所以这些零点是二级零点,
从而是 f(z) 的二级极点.
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所以由对数留数公式得
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四、小结与思考
通过本课的学习, 应熟悉对数留数及其与
函数的零点及极点的关系; 了解辐角原理与路
西定理.
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思考题
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思考题答案
只有一个根.
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Thank You!
再见！
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