文档介绍：.
1 / 12
函数的周期性与对称性
1、函数的周期性
若a是非零常数,若对于函数y＝f<x>定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数y＝f<x>是周期函数,且2|a|是它的一个周期。
①f<x＋a>＝f<x－a> 分析,得到频率分布表如下：
1
2
3
4
5
频率
0．2
0．45
〔1若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求,,的值；
A
B
C
P
H
〔Ⅱ在〔1的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为,,,等级系数为5的2件日用品记为,,现从,,,,这5件日用品中任取两件〔假定每件日用品被取出的可能性相同,写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
.
4 / 12
,在三棱锥中,底面,,为的中点,,.
〔Ⅰ求证：平面；
〔Ⅱ求经过点的球的表面积。
,动点在抛物线上滑动,且
〔1求中点的轨迹方程；
〔2点在上,关于轴对称,过点作切线,且与平行,点到的距离为,且,证明：为直角三角形
6. 设函数.〔1求的极大值；
〔2求证：
〔3当方程有唯一解时,方程也有唯一解,求正实数的值；
函数的周期性与对称性
1、函数的周期性
若a是非零常数,若对于函数y＝f<x>定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数y＝f<x>是周期函数,且2|a|是它的一个周期。
①f<x＋a>＝f<x－a> ②f<x＋a>＝－f<x>③f<x＋a>＝1/f<x> ④f<x＋a>＝－1/f<x>
2、函数的对称性与周期性
性质5若函数y＝f<x>同时关于直线x＝a与x＝b轴对称,则函数f<x>必为周期函数,且T＝2|a－b|
性质6、若函数y＝f<x>同时关于点〔a,0与点〔b,0中心对称,则函数f<x>必为周期函数,且T＝2|a－b|
性质7、若函数y＝f<x>既关于点〔a,0中心对称,又关于直线x＝b轴对称,则函数f<x>必为周期函数,且T＝4|a－b|
〔自身对称
若,则具有周期性；若,则具有对称性："内同表示周期性,内反表示对称性"。
1、图象关于直线对称
推论1：的图象关于直线对称
推论2、的图象关于直线对称
推论3、的图象关于直线对称
2、的图象关于点对称
推论1、的图象关于点对称
.
5 / 12
推论2、的图象关于点对称
推论3、的图象关于点对称
例题分析：
1．设是上的奇函数,,当时,,则等于 < >
〔 〔B 〔 〔D
2、〔XX已知定义在上的奇函数满足,则的值为〔
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．设是定义在上的奇函数,求
4．函数对于任意实数满足条件,若,则___
5．已知是定义在上的奇函数,且它的图像关于直线对称。
〔1求的值；〔2证明是周期函数；
〔3若,求时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。
<x>是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f<x＋2>＝－f<x>．当x∈[0,2]时,f<x>＝2x－x2.<1>求证：f<x>是周期函数；<2>当x∈[2,4]时,求f<x>的解析式．
解：<1>证明：∵f<x＋2>＝－f<x>,∴f<x＋4>＝－f<x＋2>＝f<x>．
∴f<x>是周期为4的周期函数．
<2>∵x∈[2,4],∴－x∈[－4,－2],∴4－x∈[0,2],
∴f<4－x>＝2<4－x>－<4－x>2＝－x2＋6x－8.
又∵f<4－x>＝f<－x>＝－f<x>,∴－f<x>＝－x2＋6x－8,
即f<x>＝x2－6x＋8,x∈[2,4]．
巩固练****br/>1．函数f<x>是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f<x>＝x－1,则不等式xf<x>>0在[－1,3]上的解集为< >
A．<1,3> B．<－1,1>C．<－1,0>∪<1,3> D．<－1,0>∪<0,1>
解析：选C f<x>的图像如图．
当x∈<－1,0>时,由xf<x>>0得x∈<－1,0>；
.
6 / 12
当x∈<0,1>时,由xf<x><0得x∈∅；当x∈<1,3>时,由xf<x>>0得x∈<1,3>．
故x∈<－1,0>∪<1,3>．
2．设函数f<x>是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f<x＋1>＝f<x－1>,已知当x∈[0,1]时,f<