文档介绍：1997 年全国硕士研究生入学统一考试
数学 (一 )试卷
一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分 .把答案填在题中横线上 )
3sin x x2 cos 1
(D)44
三、 (本题共 3 小题 ,每小题 5 分,满分 15 分)
(1) 计算 I
(x2
y2 )dv, 其中
为平面曲线
y2
2z 绕 z 轴旋转一周所成的曲面与平面
x
0
z 8 所围成的区域 .
(2) 计算曲线积分
?( z
y) dx
( x
z)dy
( x
y )dz , 其中 c 是曲线
x2
y2
1
从 z 轴正
c
x y
z
2
向往 z 轴负向看 c 的方向是顺时针的 .
(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的
,设该人群的总人数为
N ,在 t
0 时刻
已掌握新技术的人数为
x0 , 在任意时刻 t 已掌握新技术的人数为
x( t)(
将 x( t) 视为连续可微变量 ),其变化
率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比
,比例常数 k
0, 求 x(t ).
四、 (本题共 2
小题 ,第 (1)小题 6
分,第(2)小题 7分,满分 13分)
(1)设直线 l :
x
y
b
0
在平面
上 ,而平面
与曲面 z x2
y2 相切于点 (1,
2,5), 求
x
ay
z
3
0
a, b 之值 .
精选
(2)设函数 f (u ) 具有二阶连续导数 ,而 z
f (ex sin y) 满足方程
2 z
2 z
e2x z, 求 f (u).
x2
y2
五、 (本题满分 6
分 )
设 f ( x) 连续 ,
1
f (xt)dt, 且 lim f (x)
A( A 为常数 ),求
( x)
( x) 并讨论
( x) 在 x 0
0
x 0
x
处的连续性 .
六、 (本题满分 8 分 )
设 a1 0, an 1
1 (an
1 )(n 1,2,L ), 证明
2
an
(1) lim an 存在 .
x
(2)级数
( an
1)收敛.
n 1
an 1
七、 (本题共 2 小题 ,第 (1)小题 5 分 ,第 (2)小题 6 分 ,满分 11 分)
(1)设 B 是秩为 2的 5 4 矩阵 ,α [1,1,2,3] T , α [ 1,1,4, 1]T , α [5, 1, 8,9] T 是齐次
1 2 3
线性方程组 B x 0 的解向量 ,求 B x 0 的解空间的一个标准正交基 .
精选
1
2
1
2
(2)已知 ξ
1
是矩阵 A
5
a
3 的一个特征向量 .
1
1
b
2
1)试确定
a, b
参数及特征向量
所对应的特征值 .
ξ
2)问 A 能否相似于对角阵 ?说明理由 .
八、（本题满分 5 分）
设 A 是 n 阶可逆方阵 ,将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B.
(1)
证明 B 可逆.
(2)
1
求AB .
九、（本题满分 7 分）
从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗 ,假设再各个交通岗遇到红灯的