文档介绍：按Esc键退出
返回目录
根本不等式及其应用
按Esc键退出
返回目录
按Esc键退出
返回目录
基础梳理自测
考点探究突破
按Esc键退出
返回目录
x+ ≥a恒成立,那么实数a的取值范围是(     ).
A.(-∞,2]     B.(-∞,4]
C.[0,+∞)     D.[2,4]
答案：B
m3,深为2 m的长方体无盖水池,如果池底和池壁1m2的造价分别为120元和80元,那么水池外表积的最低造价为        元.
答案：1 760
按Esc键退出
返回目录
思维拓展
“当且仅当〞的含义?
提示:①当a=b时, ≥ 取等号,即a=b⇒ = .
②仅当a=b时, ≥ 取等号,即 = ⇒a=b.
(小)值时,等号取不到时,如何处理?
提示:当等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来求解.
按Esc键退出
返回目录
考点探究突破
◎拓展升华思维的加油站◎
按Esc键退出
返回目录
一、利用根本不等式证明不等式
【例1】 设a,b均为正实数,求证: + +ab≥2 .
证明:由于a,b均为正实数,
所以 + ≥2 = .
当且仅当 = ,即a=b时等号成立.
又因为 +ab≥2 =2 .
当且仅当 =ab时等号成立.
所以 + +ab≥ +ab≥2 ,
当且仅当 即a=b= 时取等号.
按Esc键退出
返回目录
方法提炼利用根本不等式证明不等式是综合法证明
不等式的一种情况,综合法是指从已证不等式和问题的条件出 发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为 所求问题,其特征是以“〞看“可知〞,逐步推向“未知〞.
请做[针对训练]4,5
按Esc键退出
返回目录
二、利用根本不等式求最值
【例2】 (1)设0<x<2,求函数y= 的最大值;
(2)求 +a的取值范围;
(3)x>0,y>0,且x+y=1,求 + 的最小值.
按Esc键退出
返回目录
解:(1)∵0<x<2,
∴2-x>0.
∴y= = ·
≤ · = ,
当且仅当x=2-x,即x=1时取等号,
∴当x=1时,函数y= 的最大值是 .
(2)显然a≠2,当a>2时,a-2>0,
∴ +a= +(a-2)+2
≥2 +2=6,
按Esc键退出
返回目录
当且仅当 =a-2,即a=4时取等号;
当a<2时,a-2<0,
∴ +a= +(a-2)+2
=- +2
≤-2 +2=-2,
当且仅当 =2-a,
即a=0时取等号,
∴ +a的取值范围是(-∞,-2]∪[6,+∞).
按Esc键退出
返回目录
(3)∵x>0,y>0,且x+y=1,
∴ + = (x+y)
=7+ + ≥7+2
=7+4 ,
当且仅当 = ,即2x= y时等号成立,
∴ + 的最小值为7+4 .
按Esc键退出
返回目录
,要把握三个
方面,即“一正——各项都是正数;二定——和或积为定值;三相等— —等号能取得〞,这三个方面缺一不可.
,常采用拆项使分式的分子为常数,有些 分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数) 的形式,这种方法叫别离常数法.
,就需要对式子进行恒等变形,运用基 本不等式求最值的焦点在于凑配“和〞与“积〞,并且在凑配过程中 就应考虑到等号成立的条件,另外,可利用二次函数的配方法求最值.
请做[针对训练]1
按Esc键退出
返回目录
三、根本不等式的实际应用
【例3-1】 某单位用2 160万元购得一块空地,方案在该地块上建造一
栋至少10层、每层2 ,如果将楼房建为x(x≥ 10)层,那么每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房 每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合 费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= )
按Esc键退出
返回目录
解:设将楼房建为x层,那么每平方米的平均购地费用为 = .
∴每平方米的平均综合费用y=560+48x+
=560+48 (x≥10),
当x+ 取最小时,y有最小值.
∵x>0,∴x+ ≥2 =30,
当且仅当x= ,即x=15时,上式等号成立.
∴当x=15时,y有最小值2 000