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五大几何模型
知识框架
等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
③word
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五大几何模型
知识框架
等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图；
反之，如果，则可知直线平行于．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
二、共角定理（鸟头定理）
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
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三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
或者②
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
①
；
的对应份数为．
四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
①；
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②．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
五、共边定理（燕尾定理）
有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则
特殊情况：当PQ∥AB时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB
  
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例题精讲
一、三角形相似模型
图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?
如图，四边形和都是平行四边形，四边形的面积是，，则四边形的面积________．
已知三角形的面积为，，是的中点，且∥，交于，求阴影部分的面积．
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图中是边长为的正方形，从到正方形顶点、连成一个三角形，已知这个三角形在上截得的长度为，那么三角形的面积是多少？
如图，是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为和，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？
是平行四边形，面积为72平方厘米，、分别为、的中点，则图中阴影部分的面积为平方厘米．
二、蝴蝶模型
如图所示，长方形的阴影部分的面积之和为70，AB=8,AD=15四边形的面积为______．
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如图5所示，矩形ABCD的面积是24平方厘米，、，则四边形PMON的面积是平方厘米。
如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点．已知正方形的面积48，，则的面积是多少？
如图所示，是梯形，面积是，的面积是9，的面积是27．那么阴影面积是多少？
如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为．
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下图中，四边形都是边长为1的正方形，、、、分别是，，，的中点，如果左