文档介绍：word
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立体几何体积问题
未命名
一、解答题
1．如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．
2．如图，多面体中，为
点睛：考查面面垂直、几何体体积，能正确分析线条关系，利用等体积法转化求体积是解题关键.
3．(1)证明见解析；(2).
【解析】分析：（1）通过证明AB平面ACFE得到；（2）作于点G，设，分别计算出四棱锥的体积，再根据已知条件，求出的值，在直角三角形CFG中求出CF的值。
详解：(1)∵平面，∴
作于点，在中，，，得，
在中，
∴
∴且，
∴平面
又∵平面
∴.
（2）设，作于点，
则平面，且，
又，
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，
∴，得
连接，则，
∴.
点睛：本题主要考查了线面垂直的判定定理和性质定理、余弦定理、勾股定理、体积计算公式等，属于中档题。
4．（1）见解析；（2）.
【解析】分析：（1）根据，及，推出四边形是平行四边形，再根据推出，由平面，可推出，根据线面垂直判定定理即可推出平面，从而可证平面平面；（2）根据平面，可推出，由，可得，根据勾股定理可得，然后分别求得四棱锥的各面面积相加即可求得表面积.
详解：（1）证明：由，可得，则，又，则四边形是平行四边形，则.
∵
∴.
又∵平面，平面
∴
∵，平面
∴平面
又平面
∴平面平面.
（2）解：∵平面
∴
∵
∴.
∵
∴.
∴四棱锥的表面积为.
点睛：本题主要考查面面垂直的证明方法，考查椎体的表面积求法，属基础题. 熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的垂直关系进行转化，证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
5．(1)见解析；（2）.
【解析】分析：（Ⅰ）取的中点，连接，在等边，得，又由四边形为矩形，得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得证．
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，得到平面,即为三棱柱的高，再利用棱锥的体积公式，即可求得三棱锥的体积．
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详解：证明：（Ⅰ）取的中点，连接
为等边三角形
，，
四边形为矩形
,平面
又平面，
(Ⅱ)由（Ⅰ）知
又平面平面，平面平面，
平面
平面,为三棱柱的高
为等边三角形，，得,
,
点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，以及三棱锥的体积的计算，其中熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
6．（1）见解析；（2）.
【解析】（1）在平面中，过点作棱的垂线，垂足为，平面平面，平面.
在平面中，过点作棱的垂线，垂足为，平面平面，∴平面.
过点与平面垂直的直线有且只有一条，∴与重合，又∵平面平面,∴与重合于AB，所以平面.
（2）设的中点为，连接，，
点为棱的中点，∴∥且=，
∥，∴∥，∴、、、四点共面，
∵∥平面，∴∥，
∴四边形是平行四边形，∴=，
∵为的中点且，
∴，∴==，
设梯形的高为，，
∴，∴，
∴,∴的正弦值为.
7．（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）连接交于点，连接，欲证，只需证明即可；（2）原几何体是由四棱锥和三棱锥两部分构成，只需分别计算出体积相加可得.
详解：
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(Ⅰ)如上图所示，连接交于点，连接.
∵四边形是正方形，∴是的中点
又已知是的中点,∴
又∵且,∴，
即四边形是平行四边形
∴，∵,∴；
(Ⅱ) 如上图，引于点，
∵，
∴，∵平面
∴，
同理
.
点睛：(1)证明线线垂直时可利用勾股定理逆定理，等腰三角形中三线合一，线面垂直等方法进行，本题过构造，将问题进行了转化；（2）在计算组合体体积时，要注意分析组合体由哪些简单几何体构成，分别计算体积即可求解，而在计算简单几何体体积时要注意“换底”的策略.
8．（1）见解析.（2）见解析.（3）.
【解析】分析：（1）在梯形中，过点作作于，可得，所以，由面面，可得出，利用线面垂直的判定定理得平面,进而可得平面平面；（2）在线段上取点，使得，连接，先证明与相似，于是得，由线面平行的判定定理可得结果；（3）点到平面的距离就是点到平面的距离，设到平面