文档介绍：
内容回顾
【例6】求
【解】
【分析】这是 型不定式,应用洛必达法则,求导去掉积分号.
思考:去掉积分号还有没有其它方法?
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内容回顾
【例6】求
【解】
【分析】这是 型不定式,应用洛必达法则,求导去掉积分号.
思考:去掉积分号还有没有其它方法?
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你怎么称呼老师？
如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？
你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？
教师的教鞭
“不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
“太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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【证】
【证】
令
【解】
【补充1】
【解】
【练****求
【解】
令
第三节 定积分的换元法和分部积分法
一、换元公式
三、小结 思考题
二、分部积分公式
【定理】
一、换元公式
【应用换元公式时应注意】
(1)
(2)
三换
换积分限——上限对上限，下限对下限.
换被积函数
换微分
【例1】计算
【解】
令
【例1】计算
【例2】计算
【解】
容易犯错误
【例3】计算
【解】
原式
【例4 】计算
【解】
令
原式
另解:
【证】
奇函数
【例6】计算
【解】
原式
偶函数
单位圆的面积
【例7】
设函数
【解】
换元 令
于是
【总结】
定积分的证明题——一般用到积分区间的分割性质、换元法、定积分与积分变量无关的特性。
令
【例8】
【证】
【分析】先分割、再换元，最后改变积分变量
【例9】 设f (x)是以T为周期的连续函数，则对任意a，有
【证】
令
则
【分析】先分割、再换元，最后改积分变量
【一般地】
二、分部积分公式
【例1】 计算
【解】
令
则
【例2】计算
【解】
【例3】计算
【解】
【例4】 证明定积分公式(华里士（Wallis）公式)
为正偶数
为大于1的正奇数
积分 关于下标的递推公式
直到下标减到0或1为止
【证】
设
于是
定积分的分部积分公式
三、小结
定积分的换元法
定积分的证明题——一般用到积分区间的分割性质、换元法、定积分与积分变量无关的特性。
第四节 反常积分
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分（瑕积分）
三、小结 思考题
（2）瑕积分（被积函数无界）
以上各节所讲定积分是正常情况下的积分，它满足两条：
(1)积分区间为有限区间[a，b]
(2)被积函数为有界函数
（尤其常见的是连续函数）
（1）无穷限的反常积分（积分区间无限）
反常积分
一、无穷限的反常积分
【注】
由上述定义及牛—莱公式可得如下结果：
否则称发散.
（1）
（2）
（3）
【例1】计算反常积分
【解】
几何意义
它是位于曲线的下方，x轴上方、两端无限延伸的图形的面积。但却是有限值π
【例2】计算反常积分
【解】
【证】
二、无界函数的反常积分（瑕积分）
【定义】
如果函数f (x)在点a的任一邻域内都无界，则称点a为函数f (x)的瑕点（又称无界间断点）
定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.
【注意】
由上述定义及牛—莱公式可得如下结果：
极限 存在，称反常积分收敛；否则称反常积分发散.
极限 存在，称反常积分收敛；否则称反常积分发散.
收敛；否则当至少有一个不存在时，称反常积分发散.
【例5】计算反常积分
【解】
必为瑕点
【思考题1】
【思考题解答】
【思考题2】
【解】
令
【思考题解答】
计算中第二步是错误的.
正确解法是
【练****设
【解】
【分析】