文档介绍：线性代数线性方程组解的结构
第1页，本讲稿共23页
在有解的情况下，
回顾：
其中
为增广矩阵。
当线性方程组有无穷多解的情况下，希望用有限个解表示出来。
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第2页，本讲稿共23页
一、齐次线性方程组解的线性代数线性方程组解的结构
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在有解的情况下，
回顾：
其中
为增广矩阵。
当线性方程组有无穷多解的情况下，希望用有限个解表示出来。
*
第2页，本讲稿共23页
一、齐次线性方程组解的结构
由解的判别定理知，(*)只有零解当且仅当
(*) 有零解(即无穷多解)当且仅当
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齐次线性方程组解的性质:
证明
（1）若 为 的解，则
也是 的解.
（2）若 为 的解， 为实数，则
也是 的解.
证明
均是 的解, 则它们的
综上所述, 若
线性组合
也是 的解.
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定义
齐次线性方程组
的一组解向量
如果满足：
(1) 线性无关；
(2) 的任一解向量均可被
线性表示，
则称
为
的一个基础解系。
若 只有零解，则基础解系不存在。
基础解系即为全体解向量组的极大无关组。
定理
证略
下面举例说明基础解系的求法。
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求下面齐次线性方程组的一个基础解系，并用基础解系表示出全部解。
例1
解
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自由未知量取为
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基础解系:
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例2
解
求下面齐次线性方程组的一个基础解系：
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自由未知量取为
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自由未知量取为
基础解系:
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二、非齐次线性方程组解的结构
称
为
的导出组。
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非齐次线性方程组解的性质:
证明
（1）若 为 的解，则
是 的解.
证明
（2）若 为 的解，
为 的解，
则 是 的解.
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定理
如果 是 的一个特解，那么
的任一解
可表为
其中 是导出组 的解.
因此，当 取遍导出组的全部解时， 就给出
的全部解。
证明
由上述性质可知，
为导出组 的解，
记为
则
当 取遍导出组的全部解时， 就给出 的
全部解。
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设非齐次线性方程组
当 取遍导出组的全部解时， 就给出 的
全部解。
全部解的求法：
满足
则有无穷多解,
导出组
(1) 求出导出组 的基础解系
(2) 求出原方程组 的一个特解
则
的全部解为
其中
为任意常数.
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例3
解
求方程组
的全部解.
所以有无穷多解。
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导出组的基础解系：
特解：
所以全部解为
任意。
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例4
方程组的增广矩阵为
导出组的基础解系：
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特解：
所以全部解为
任意。
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例5
解
方程组
(1) 为何值时,无解？有唯一解？有无穷多解？
(2) 无穷多解时，求出全部解(用向量表示)。
无解;
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有无穷多解,
全部解为
k为任意常数 .
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例6
解
k为任意常数 .
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练****br/>P141****题三
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