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相似三角形
一、知识概述
(一)相似三角形
1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．
温馨提示：
①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个出根本图形．
三、解题方法技巧点拨
1、寻找相似三角形的个数
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例1、(吉林)将两块完全一样的等腰直角三角形摆成如图的样子，假设图形中所有点、线都在同一平面内，答复以下问题：
(1)图中共有多少个三角形？把它们一一写出来；
(2)图中有相似(不包括全等)三角形吗？如果有，就把它们一一写出来．
分析： (1)在△内，有五个三角形，加上△与△，共有七个三角形．
(2)这是依据相似三角形判定定理来解决的计数问题．由于“不包括全等〞，图中还剩五个非直角三角形，考虑到题设中两个三角形摆放的随意性，∠1不一定等于∠2，而∠∠45°，∠3、∠4都为钝角，又排除△与△相似，还剩三个三角形，这三个三角形相似．
解： (1)共有七个三角形，它们是△、△、△、△、△、△与△．
(2)有相似三角形，它们是△∽△，△∽△，△∽△(或△∽△∽△)．
点拨：①解决这类计数问题，一定要依据图形与定理，全面、周密思考，做到不重不漏，这类题有利于发散思维的培养与创新意识的形成；
②有兴趣的同学可继续探索一下此题中、、三条线段有何关系？
2、画符合要求的相似三角形
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例2、(上海)在大小为4×4的正方形方格中，△的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画出一个△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△(相似比不为1)，且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上．
〔1〕 〔2〕
分析：
设单位正方形的边长为1，那么△的三边为，从而根据相似三角形判定定理2或3可画△A1B1C1，易得
点拨：在4×4的正方形方格中，满足题设的△A1B1C1只能画出以上三个，假设正方形方格数不加限制，那么与△相似且不全等的三角形可以画无数个．
3、相似三角形的判定
例3、(1)如图，O是△内任一点，D、E、F分别是、、的中点，求证：△∽△；
(2)如图，正方形中，E是的中点，3，写出图中所有相似三角形，并证明．
分析：
(1)根据题设，观察图形易见，、、分别是△、△、△的中位线，利用三角形的中位线性质可证△与△的三边对应成比例；
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(2)由于正方形的四条边相等，且，3，设出正方形边长后，图中所有线段都能求出，故可从三边是否成比例判定哪些三角形相似．
点拨：①第(1)题，假设点O在△外，其他条件不变，结论仍成立；
②第(2)题也可用判定定理2，先证△∽△，得出∠90°后，再证其中任意三角形与△相似，显然，以上证法较简便．
4、直角三角形相似的判定
例4、求证：假设一个直角三角形的一条直角边与斜边上的高与另一个直角三角形的一条直角边与斜边上的高成比例，那么这两个直角三角形相似．
：如图，△与△A′B′C′中，∠∠C′=90°，、C′D′分别是两个三角形斜边上的高，且︰C′D′︰A′C′．
求证：△∽△A′B′C′．
分析：
判定直角三角形相似的方法除使用一般三角形的判定方法外，还可使用“斜边与一直角边对应成比例的两直角三角形相似〞这一定理．证明△∽△A′B′C′，只要再证一锐角对应相等即可．
证明：
∵、C′D′分别是△、△A′B′C′的高，
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∴△、△A′C′D′是直角三角形．
5、三角形重心问题
例5、△的重心G到边上的距离为5，那么边上的高为( )
A．5 B．12
C．10 D．15
解析：
因为G为△的重心，所以︰1︰3，因为⊥，⊥，所以∥，所以︰︰1︰3，因为5，所以15．
6、相似三角形的综合运用
例6、如图，是△斜边上的中线，过点D垂直于的直线交于E，交延长线于F．
求证：(1)△∽△；(2)2·．
分析：
(1)△与△都是直角三角形，要证它们相似，只要再找一个角对应相等即可；
(2)注意到是斜边的中线，，由结论(1)不难得出结论(2)．
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证明：
(1)∵⊥，∴∠∠90°，又∵∠F＋∠∠B＋∠A，∴∠∠B，∴△∽△．
(2)由(1)得，∴··．又∵是△斜边上的中线，∴．故2·．
点拨：此题综合考察了直角三角形的性质与相似三角形的判定等．这是一道阶梯型问题，第(2)题根据(1)得出有关比例式，然后使用“等线代换〞使问题简捷获证．其实第(2)题也可这样思考：把它转化为比例式，证明这三条线段所在的△∽△．