文档介绍：线代复****br/>1
一、行列式
1. 在多项式中，的系数是 －6 ；
2．设，其中都是3维列向量，已知，则；
3．已知，设是中元素的代数余子式，则；
4．设，为的元的余子式，则 ；
5．设为阶方阵，且则；
计齐次方程的基础解系，对任意常数，则下列正确的是（ ）
的通解是
的通解是
的通解是
的通解是
14．已知四元非齐次线性方程组中, . 而为它的三个解向量, 且
,则 的通解为
或 或；
15．设为阶方阵的列向量组的极大无关组，为的伴随矩阵，则线性方程组的通解为；
16．设是元非齐次线性方程组，若矩阵的秩为，且，是的两个特解，则方程组的通解是（为任意常数）；
17．向量组，，，，
（1）求向量组的秩；
（2）求此向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示．
解：
线代复****br/>10
，
故：（1）向量组的秩为3；
（2）为一个极大无关组，．
18．设有三维列向量 .
问为何值时: (1). 可由线性表示, 且表达式惟一?
(2). 可由线性表示, 但表达式不惟一?
(3). 不能由线性表示?
解：设有一组数， 使
将的值代入上式，可得非齐次线性方程组
()
其系数行列式
(1). 如 即且, 方程组()有惟一解,亦即可由线性
表示, 且表达式惟一.
(2). 如 即或 .
当时, ()为齐次线性方程组,此时,故方程组()有无穷多解,
亦即可由线性表示, 且表达式不惟一.
当时, 对方程组()的增广矩阵作初等行变换,化为阶梯形矩阵.
由此知, 故方程组()无解, 亦即不能由线性表示．
线代复****br/>11
19． 求下列向量组的一个最大线性无关组
，并指出能否被线性表示.
解： 因为，
所以或是向量组的最大线性无关组.
不能被线性表示.
20．设有向量组线性无关， 证明：向量组也线性无关．
证明：设有一组数，使得
，
即．
因为线性无关，所以
由于，
从而关于的线性方程组只有零解，即
故向量组也线性无关．
21．设向量组线性无关，非零向量与每个向量均正交，证明线性无关．
线代复****br/>12
证明：设有，使， （1）
用与（1）式两端作为内积，，由于与每个向量均正交，所以．
因为，故，从而必有．
（1）式变为，
因为向量组线性无关，所以．
从而，线性无关．
22．已知向量组线性相关， 线性无关，讨论的线性相关性．
解：线性无关线性无关．又线性相关，
故可由唯一线性表示，即（为常数）．
设有一组常数，使．
即，
又线性无关，则有
线性无关．
23．设向量组线性无关， 证明线性无关的充分必要条件为行列式
证明：线性无关中的
线代复****br/>13
中的中的
24．已知为线性方程组的基础解系，试证明也是该方程组的基础解系．
证明:首先，显然是该方程组的解．
其次设有一组数考虑等式，
即．
因为是线性方程组的基础解系，
所以线性无关，从而，解得，
故也是该方程组的基础解系．
25．设是某齐次线性方程组的基础解系，又，
，问是否也可作为该方程组的基础解系？
为什么？
解：＝
=
因为 所以为可逆矩阵，
又因为是齐次线性方程组的基础解系，故线性无关，
从而也线性无关．
由齐次线性方程组的解的性质知：也是齐次线性方程组的解向量．
综上：也可作为该方程组的基础解系．
线代复****br/>14
26．设为齐次线性方程组的基础解系，，，…， ，其中为实常数，问满足什么条件，也是方程组的基础解系？
证明：由于是的线性组合，所以均为的解．
设，即
因为线性无关，所以 （＊）而系数行列式
．
所以当，即当为偶数，，为奇数，时，方程组（＊）
只有零解，从而线性无关，此时也是齐次线性方程组的一个基础解系．
27．取什么值时，下面的线性方程组
无解？有唯一解？有无穷多解？当有无穷多解时，求其通解．
解：系数行列式，
线代复****br/>15
(1)当时，，,方程组无解;
(2) 当且时，,方程组有唯一解;
(3) 当时，,方程组有无穷多解,此时
，即，
得通解（为任意常数）．
28．已知线性方程组
讨论为何值时：（1）方程组无解；（2）有解，并求其通解．
解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换，得：
，
(1)当时，,方程组无解;
(2) 当时，,方程组有解;
ⅰ) 当时，,方程组有无穷多解,此时
，即，
线代复****br/>16
得通解（为