文档介绍：..
坐标系
单元测试
一、选择题（每小题
5分,共60分）
将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是 ( )
A. 椭圆 B. 比原来大的圆
D. 双曲线
sin2 θ 所表示的曲线是 ________.
答案 : 一条直线或一个圆
15. 在同一平面直角坐标系中
x2
y 2
22
=1
的伸缩变换公式为
, 由椭圆
=1 变成圆
x′ +y′
4
9
________.
x
1 x,
答案 :
2
1 y
3
16. 曲线 θ=0, θ= ( ρ≥ 0) 和 ρ=4 所围成的面积是 ________.
3
DOC版.
..
答案 :
8
3
三、解答题（共 74 分）
17.(12 分 )
设有一颗彗星 , 围绕地球沿一抛物线轨道运行 , 地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处 , 当此彗
星离地球为 30( 万千米 ) 时, 经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为 30°, 试建立适当的极坐标系 , 写出彗星此时的极坐标 .
解: 如图 , 建立极坐标系 , 使极点 O位于抛物线的焦点处 , 极轴 Ox过抛物线的对称轴 , 由题设可得下列情形 :
当 θ=30°时 , ρ=30( 万千米 );
当 θ=150°时 , ρ=30( 万千米 );
当 θ=210°时 , ρ=30( 万千米 );
当 θ=330°时 , ρ=30( 万千米 ).
∴彗星此时的极坐标有四种情形 :(30,30 °),(30,150 °),(30,210 °),(30,330 °).
18.(12
分 )(1)
将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程:
2
2
2
2
(x +y ) =2a xy; ②x-3y=0.
(2) 将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程 :
①ρ 2=cos 2θ; ②ρ= 4 .
cos
解:(1) ①由 (x 2+y 2) 2=2a2xy, 得 ρ 4=2a2ρ 2cos θ sin θ .
∴ρ 2=2a2cos θsin θ , 即 ρ 2=a2sin2 θ.
②由 x-3y=0,
得 ρ cosθ -3 ρsin θ =0,tan θ = 1 .
1
3
∴θ =arctan .
3
(2) ①ρ 2=cos
2θ 两边同时乘以
ρ 2, 得 ρ 4=ρ 2cos2 θ=( ρ cos θ ) 2.
(x 2+y2) 2=x2, 即有 x2+y2=x 或 x2+y2=-x, 它表示两个圆 .
2 2
②方程可化为 2ρ - ρ cos θ =4, 即 2ρ =4+x, 两边平方得 4ρ