文档介绍：有限元分析方法
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第1章 有限元分析方法及NX Nastran的由来
第1章 有限元分析方法及NX Nastran的由来
有限元分析方法介绍
计算机软硬件单元刚度矩阵。
1954—1955年，。
1960年，Clough在著名的题为“The Finite Element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（Finite Element）这一术语，并在后来被广泛地引用，成为这种数值方法的标准称谓。
与此同时，数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法，这为有限元方法在以后的发展奠定了数学和理论基础。
在1963年前后，，，，，（卞学磺）等许多人的工作，人们认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，从而发展了使用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。
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第1章 有限元分析方法及NX Nastran的由来
（张佑启）发现，对于所有的场问题，只要能将其转换为相应的变分形式，即可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。
（Galerkin）法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。
有限元法的基本思路
有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法加以组合，从而形成原有系统的一个数值近似系统，也就是形成相应的数值模型。
下面用在自重作用下的等截面直杆来说明有限元法的思路。
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第1章 有限元分析方法及NX Nastran的由来
等截面直杆在自重作用下的材料力学解答：
受自重作用的等截面直杆如图1-3所示，杆的长度为L，截面积为A，弹性模量为E，单位长度的重量为q，杆的内力为N。试求：杆的位移分布、杆的应变和应力。
（1-4）
图1-3 受自重作用的等截面直杆 图1-4 离散后的直杆
等截面直杆在自重作用下的有限元法解答：
（1）连续系统离散化
如图1-4所示，将直杆划分成n个有限段，有限段之间通过公共点相连接。在有限元法中将两段之间的公共连接点称为节点，将每个有限段称为单元。节点和单元组成的离散模型就称为对应于连续系统的
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第1章 有限元分析方法及NX Nastran的由来
“有限元模型”。
有限元模型中的第i个单元，其长度为Li，包含第i，i+1个节点。
（2）用单元节点位移表示单元内部位移
第i个单元中的位移用所包含的节点位移来表示：
（1-5）
其中为第i节点的位移，为第i节点的坐标。第i个单元的应变为，应力为，内力为：
（1-6）
（1-7）
（1-8）
（3）把外载荷归集到节点上
把第i单元和第i+1单元重量的一半，归集到第i+1节点上，如图1-5所示。
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图1-5 集中单元重量
（4）建立节点的力平衡方程
对于第i+1节点，由力的平衡方程可得：
（1-9）
令，并将（1-8）代入得：
（1-10）
根据约束条件，。
对于第n+1个节点，
（1-11）
建立所有节点的力平衡方程，可以得到由n+1个方程构成的方程组，可解出n+1个未知的节点位移。
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第1章 有限元