文档介绍：第十章 因子分析
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相关例子（1）
奥林匹克十项全能：百米跑、跳远、铅球、跳高、400米跑、百米跨栏、铁饼、撑杆跳远、标枪、1500米跑
研究问题：十项全能所包括的运动技能可概括为几项？十项全能可压缩为子之间完全不相关时，很容易证明:
因子负载 αi j 等于第i 个变量和第j 个因子之间的相关系数，A=(αi j )为因子载荷阵（因子负荷阵）
α i j 的绝对值越大，表示公因子fj 与变量xi的关系越密切，从中寻找公因子fj 的实际含义。
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因子负载还可以用来估计观察变量之间的相关系数，当公因子之间彼此不相关时，由因子分析模型很容易推导出变量xi 与xj 之间的相关系数为：
即任何两个观察变量之间的相关系数等于对应的因子负载乘积之和。
如果从观测数据计算出的相关系数和从因子模型导出的变量的相关系数差别很小，则可以说模型很好地拟合了观测数据，因子解是合适的。
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变量 xi 与变量 xj 之间关系
f1
f2
fm
xi
xj
αi1
αjm
αj1
αj2
αi2
αi m
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公因子方差(Communality)
观察变量方差由两部分组成：一部分是由公因子决定，另一部分是由特殊因子决定。
反映了m个公因子在xi 的方差中所占比例
公因子方差越大（接近1），变量能被公因子说明的程度越高，则因子分析的效果好，从原变量空间到公共因子空间的转化性质好
公因子方差（共性方差）：
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公因子的方差贡献(Contributions)
每个公因子对数据的解释能力，可以用该因子所解释的总方差来衡量，通常称为该因子的贡献，记为gj
它等于和该因子有关的因子负载的平方和
fj 的方差贡献：
fj 的方差贡献率：
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注意hi2和gj2之间的区别！
hi2 ：因子载荷矩阵的第 i 行 的元素的平方和
gj2 ：因子载荷矩阵的第 j 列 的元素的平方和，衡量各公因子的相对重要性
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因子模型参数估计-主成分法
xi关于主成分y1，y2，…，ym的回归方程
中下标的含义：i →原指标序号
j →主成分序号
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因子模型
公因子方差（共性方差）：
fj 的方差贡献：
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因子得分
主成分取值：
因子得分：
因子得分系数矩阵：
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利用主成分法进行因子分析的步骤
1、求出原指标xi 的相关系数矩阵R
2、求出相关系数矩阵R的特征根 和其对应的单位化特征向量
3、根据累计贡献率 确定m个主成分（公因子），等价于确定m个p维向量
4、求出原指标xi 与第 j 个主成分（公因子）间的相关系数及因子负荷矩阵A
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5、由m个主成分得出m 个公因子（坐标伸缩）
6、得出原指标xi 关于公因子的关系式
7、得出共性方差，因子的方差贡献
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主成分矩阵、因子负荷矩阵、得分系数矩阵间的“三角关系”
主成分矩阵
因子负荷矩阵
得分系数矩阵
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因子旋转
为什么需要进行因子旋转？
建立了因子分析目的不仅仅要找出公共因子，更重要的要知道每个公共因子的意义，以便进行进一步的分析，如果每个公共因子的含义不清，则不便于进行实际背景的解释。由于因子载荷阵是不惟一的，所以应该对因子载荷阵进行旋转。
目的是通过改变坐标轴的位置，使因子载荷阵的结构简化，重新分配每个因子所解释的方差的比例，使载荷矩阵每列或行的元素平方值向0和1两极分化，更易于解释
不改变对数据的拟合程度，不改变因子的共同度，改变的是每个因子的方差贡献
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简单的因子载荷矩阵结构指每个变量在尽可能少的因子上有比较高的负载。以因子为轴，以因子负载为坐标作图，则每个变量是空间中的一个点，该图称为因子负载图。显然，简单结构的位置应该在f1’ 、f2’处，，其位置使因子的意义相对更明确
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方差最大的正交旋转
1、将原来因子负荷阵A通过正交旋转后得A*，使得因子负荷阵每一列元素能够“两极化”，即通过方差极大的正交旋转，使因子解的实际意义更容易解释。
2、根据 求出 的方差贡献
3、因子得分
4、经正交旋转后的单位化特征向量
为正交矩阵。
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因子旋转的方式
正交旋转：因子轴之间仍保持9