文档介绍：单跨梁的弯曲理论
第二章
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§ 2-1 梁的弯曲微分方程式及其积分
基本概念：
梁：
单跨梁：
基本假设：
平断面假设。（在纯弯曲条件下严格满足）
符号法则：
梁的挠度v 单跨梁的弯曲理论
第二章
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§ 2-1 梁的弯曲微分方程式及其积分
基本概念：
梁：
单跨梁：
基本假设：
平断面假设。（在纯弯曲条件下严格满足）
符号法则：
梁的挠度v ——向下为正。
梁的断面转角dv/dx——顺时针方向为正。
梁断面的弯矩M ——在左断面逆时针方向为正，右断面顺时
方向为正。
梁端面的剪力N ——在左断面向下为正，在右断面向上为正。
本节寻求梁挠度曲线方程式的基本方法：初参数法
仅在两端有支座支持的梁，称之为“单跨梁”。
受横向外载荷作用而发生弯曲变形的杆件。
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梁的弯曲微分方程式
如下图一单跨直梁。假定此梁有一对称面xOy，并规定x轴在梁的中性层上，向右为正，ｙ轴向下为正，ｚ轴ｘ,ｙ与组成右手坐标系统。梁的外荷重限于在xOy平面内，于是梁将发生xOy平面内的弯曲。
P
q
y
x
O
dx
x
y
z
v
弯曲时，x轴上点的垂向位移叫做梁的“挠度”，v(x)叫做梁的“挠曲线”，v的正向与y轴的正向相同
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o
x
y
根据平断面假设，梁上原来相距为 dx的两个断面变形后将相互转动
如图(a)，(b)为梁的断面。，并规定弯矩 M正向如图所示:
y
dx
q(x)
dx
M
N
N+dN
M+dM
于是：
(a)
(b)
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由微分学知识：
弯曲正应力合力为
于是得到：
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列出微段静力平衡方程式：
及
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（1）变形分析
（2）物理方程
（3）梁断面合力
（4）微段上力的平衡条件
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梁的弯曲微分方程式的解
逐次积分
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分析
O
b
l
x
y
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q(x)
P
O
b
l
x
y
a
c
x
d
现应用这个概念于在跨度中受集中力作用的梁。
m
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P
O
x
b
c
y
a
d
综上所述，如图对于一般荷重作用下的挠曲线方程式可表示如下：
q(x)
m
由
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§ 2-2 梁的支座及边界条件
自由支持在刚性支座上
如图：
刚性固定在刚性支座上
如图:
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R
R
弹性支座
v
v
A
A
左端断面：
右端断面：
弹性支座边界条件为：
自由支持在弹性支座
上的边界条件为：
刚性固定在弹性支座
上的边界条件为：
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弹性固定端
M
M
等价于
节点受到的力
梁受到的力大小相等方向相反
M
M
柔度系数：单位弯矩引起的转动角度。
刚度系数：单位位移引起的力矩
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左端断面：
右端断面：
弹性固定端边界条件为：
梁端弹性固定在刚性支座上：
弹性固定在弹性支座上：
如果，表示是完全自由端
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q
O
y
l
x
例1 如图，求两端自由支持在刚性支座上，受均布荷重作用的梁的挠曲线
解：
边界条件：
该题特点：静定结构，可直接得到节点上的约束反力：
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讨论：本梁约束的特点、位移的特点、内力分布的特点
若梁两端为自由支持在弹性支座的边界，挠曲线及内力分布如何？
若改变梁两端弹性支座的刚度系数或柔度系数，挠曲线及内力分布如何？
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P
A
x
y
例2 如图，求受集中力作用的单跨梁的挠曲线方程式。梁的左端为弹性固定端，柔性系数为；梁的右端为弹性支座，柔性系数为
解：
x=0处的边界条件为:
x=l处的边界条件为:
=0
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讨论：梁为超静定结构，弹性固定端及弹性支座的柔度系数变化
对位移及梁内力分布会产生什么影响？
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x
y
l
例3 如图，两端刚性固定的梁，不受外荷重，当其由支座发生位移时，求其挠曲线与断面弯矩与剪力。
因左端为刚性固定，故所以