文档介绍：函数定义域、值域求法总结
〔一〕求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；
2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考察自变量所在位置，位置决定了自变量的围，最后将求定义域问题化的定义域为[－1，1]，求f(*)的定义域
假设的定义域是，则函数的定义域是 〔 〕
Ａ． Ｂ Ｃ． Ｄ．
函数的定义域为Ａ，函数的定义域为Ｂ，则 〔 〕
Ａ． Ｂ．B Ｃ． Ｄ．
2、求值域问题
利用常见函数的值域来求〔直接法〕
一次函数y=a*+b(a0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数的定义域为{*|*0}，值域为{y|y0}；
二次函数的定义域为R，
当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.
例1求以下函数的值域
①y=3*+2(-1*1) ②
③〔记住图像〕
解：①∵-1*1，∴-33*3，
∴-13*+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]
②略
③当*>0，∴=，
当*<0时，=－
∴值域是[2，+).〔此法也称为配方法〕
函数的图像为：
二次函数在区间上的值域(最值)：
例2 求以下函数的最大值、最小值与值域：
①； ②；
③； ④；
解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，
∴*=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y-3 }.
②∵顶点横坐标2[3,4]，
当*=3时，y= -2；*=4时，y=1；
∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2 [0,1]，当*=0时，y=1；*=1时，y=-2,
∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2 [0,5]，当*=0时，y=1；*=2时，y=-3, *=5时，y=6,
∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].
注：对于二次函数,
⑴假设定义域为R时，
①当a>0时，则当时，其最小值；
②当a<0时，则当时，其最大值.
⑵假设定义域为* [a,b],则应首先判定其顶点横坐标*0是否属于区间[a,b].
①假设[a,b],则是函数的最小值〔a>0〕时或最大值〔a<0〕时，
再比拟的大小决定函数的最大〔小〕值.
②假设[a,b],则[a,b]是在的单调区间，只需比拟的大小即可决定函数的最大〔小〕值.
注：①假设给定区间不是闭区间，则可能得不到最大〔小〕值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进展讨论.
练****1、求函数y=3+√(2－3*)的值域
解：由算术平方根的性质，知√(2－3*)≥0，
故3+√(2－3*)≥3。
∴函数的值域为 .
2、求函数 的值域
解：对称轴
例3求函数y=4*－√1-3*(*≤1/3)的值域。
解：法一：〔单调性法〕设f(*)=4*,g(*)= －√1-3* ,(*≤1/3),易知它们在定义域为增函数，从而y=f(*)+g(*)= 4*－√1-3*
在定义域为*≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，
所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练****求函数y=3+√4-* 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)
法二：换元法(下题讲)
例4求函数 的值域
解：〔换元法〕设，则
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法表达换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
练****求函数y=√*-1 –*的值域。〔答案：｛y|y≤－3/4｝
例5〔选〕求函数 的值域
解：〔平方法〕函数定义域为：
例6〔选不要求〕求函数的值域
解：〔三角换元法〕设
小结：〔1〕假设题目中含有，则可设
〔2〕假设题目中含有则可设，其中
〔3〕假设题目中含有，则可设，其中
〔4〕假设题目中含有，则可设，其中
〔5〕假设题目中含有，则可设
其中
-1
0
1
3
4
-4
*
y
例7求 的值域
解法一：〔图象法〕可化为 如图，
观察得值域
解法二：〔零点法〕画数轴 利用可得。
-1
0
3
解法三：〔选〕〔不等式法〕
同样可得值域
练****的值域呢？〔〕〔三种方法均可〕
例8求函数 的值域
解：〔换元法〕设 ，则 原函数可化为
1
0
*
y