文档介绍：设若有F上一组不
全为零的数使得

则称向量组线性相关.
向量组的线性相关性
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设若有F上一组不
全为零的数使得

则称向量组线性相关.
向量组的线性相关性
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一个向量组如果不线性相关,就称之为线性无关.
则称线性无关.
设是一个n维向量组,如果
对于数只要就必有

那么就称向量组线性无关.
换言之,如果不存在一组不全为
零的数使得
：
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n维单位向量线性无关.
证明若
则有
从而
因此
线性无关.
即
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定理 m个n维向量
线性无关的充要条件是以为
系数列向量的齐次线性方程组
(1)
只有零解.
证明齐次线性方程组(1)相当于向量等式
(2)
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若线性无关,
故只有满足方程组(1).
反之,若(1)只有零解,则仅当
时(2)式才成立.
故线性无关.
推论设同以上定理.
线性相关当且仅当(1)有非零解. 若(1)的
非零解为 ,则
时(2)式才成立.
则仅当
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设

时,向量组线性无关.
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例讨论以下向量组的线性相关性.
= (5, 2, 9), = (2, -1, -1), = (7, 1, 8).
1) = (1, 1, 1), = (1, 2, 1), = (1, 0, 0);
解 1)因为行列式
所以
线性无关.
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所以线性无关.
有非零解
2)因为以为系数列向量的齐次线性方程组
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例如,对于中的向量 =(2, -1, 3, 1), =(4, -2, 5, 4) ,
=(2, -1, 4, -1),
因为
所以是的一个线性组合.
向量称为向量组的一个线性组合,如果存在m个数 ,使得

其中
线性表示.
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又如，任一n维向量
向量称为n维单位向量.
都是向量组
组合系数恰为的各个分量，即
的线性组合，
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:
设和是向量空间中的两个向量组. 如果每一个都可以由线性表示,而每一也可以由线性表示, 那么就说这两个向量组等价.
向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性.
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向量组 (m≥2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示.
证明必要性:若向量组线性相关,
则存在一组不全为零的数 ,使得
因为不全为零,所以其中至少有

则
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即是其余向量的线性组合.
充分性:若向量组中至少有一个向