文档介绍：以-直-代-曲
以 直 代 曲 精 妙 纷 呈
江苏省新海高级中学222206潘彩
“以直代曲〞在微积分中是最根本、最朴素的思想方法，在新的课程准标中也被提到了相当的高度，因此，新教材中(如苏教版必修②及选修2-2)按排了丰富
以-直-代-曲
以 直 代 曲 精 妙 纷 呈
江苏省新海高级中学222206潘彩
“以直代曲〞在微积分中是最根本、最朴素的思想方法，在新的课程准标中也被提到了相当的高度，因此，新教材中(如苏教版必修②及选修2-2)按排了丰富的例题和****题，旨在引导学生体会“无限逼近〞、“量变到质变〞与“近似与精确〞的哲学原理，为教师和学生的活动提供了广阔的思维空间，以期促进教学方式和学****方式的改变．本文通过以直代曲在求变化率〔导数〕、面积体积〔定积分〕、函数最值及证明不等式等方面的应用向读者展示这一思想方法精妙所在．
(导数)
例1．〔苏教版1-1PT12改编题〕设曲线与直线及围成的封闭图形的面积为求.
分析：不少同学想先求再求,而在学****
定积分之前很难求出,因而相当一局部同学
无从下手,假设能从的本质(即当时
的逼近值)入手，当自变量t增加后,图形增加的曲边
梯形可以近似地看成矩形,运用以直代曲思想那么容易解决.
解：设表示自变量t的增量,表示图形面积的增量(如图)
当很小时, 可以看成是长为,宽为的小矩形的面积,即
故,当时, 无限趋近于,即=
例2. 〔苏教版选修1-1〕〔如图〕酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm水以20的流量倒入杯中，当水深为4cm时，
求水升高的瞬时变化率.
分析：此题一般思路先建立体积V与水深h的等量关系，
然后用导数定义，或等式两边对时间t求导，还可以求
h关于t的函数,再求导,但都比拟麻烦,实际上，所求水升高
的瞬时变化率，即求当水深为4cm时，水升高的增量与
时间增量的比值，因此只需建立与之间的关系即可，
当很小，水增加的形状可近似地看圆柱〔实际上是圆台〕，其体积等于
倒入水的体积，立得与之间的关系．
解：显然，当水深为４时，水面直径为３．设经过ｓ后水面升高了，此时，水增加的形状可近似地看圆柱，那么，故即水升高的瞬时变化率为
评注:以上两例打破定势思维,直抓问题的本质，运用以直代曲的思想方法破题,解法新颖别致，给人耳目一新之感.
、体积(定积分)
例3. 〔苏教版必修②〕设半径为r的圆的面积为，试推导圆周长公式．
分析：我们知道当圆环的内外半径无限接近时即为圆，所以，圆可以近似地看成圆环，因此，考虑当圆的半径由所增加的圆环面积与以圆环内外周长为长，为宽的两矩形面积的关系，运用“两边夹〞思想解决问题．
解:如图；设为一个正数,
设是以小圆周长为长,为宽的矩形面积,是以大圆周长为长, 为宽的矩形面积, 可以看出:，故有＜
即＜
当越来越小(趋于0)时,大圆周长和小圆周长就趋近于圆周长C,且趋于0,因此,,从而半径为ｒ的圆的周长为