文档介绍：离中趋势的度量
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第一节 其它差异量数
一、全距
全距（range）：一组数列中最大和最小数值之间的差。
R=XH-XL
其中XH为最大数值， XL为最小数值。
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二、，样本中独立或能自由变化的数据的个数称为该统计量的自由度。
例如，在估计总体的平均数时，样本中的n个数全部加起来，其中任何一个数都和其他数据相独立，从其中抽出任何一个数都不影响其他数据（这也是随机抽样所要求的）。因此一组数据中每一个数据都是独立的，所以自由度就是估计总体参数时独立数据的数目，而平均数是根据n个独立数据来估计的，因此自由度为n。
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但是为什么用样本估计总体的方差时，方差的自由度就是(n-1)?
2= (X-)2/n
从此公式我们可以看出总体的方差是由各数据与总体平均数的差值求出来的，因此必须将固定后才可以求总体的方差。因此，由于被固定，它就不能独立自由变化，也就是方差受到总体平均数的限制，少了一个自由变化的机会，因此要从n里减掉一个。
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那为什么平均数被固定后会限制数据的自由变化？
假设一个样本有两个数值，X1=10,X2=20,我们现在要用这个样本估计总体的方差，则样本的平均数是：
Xm= X/n=(10+20)/2=15
现在假设我们已知Xm=15,X1=10,根据公式Xm= X/n，则有：
X2=2Xm-X1=2×15-10=20
由此我们可以知道在有两个数据样本中，当平均数的值和其中一个数据的值已知时，另一个数据的值就不能自由变化了，因此这个样本的自由度就减少一个，变成了（n-1）。依此类推：在一组数据中，当其平均数和前面的数据都已知时，最后一个数据就被固定而不能独立变化了，因此这个样本能够独立自由变化的数目就是（n-1）个.
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（2）方差的估计值
根据以上的讨论，总体方差的无偏估计值为：
S2= (X-Xm)2/(n-1)
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（3）标准差的估计值
由上述公式可以进一步推导出以样本标准差估计总体标准差的公式为：
S= √(X-Xm)2/(n-1)
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二、方差和标准差的计算公式
前面提供的方差和标准差公式都是根据统计的数学定义列出的，因此称为定义公式（defining formulas）。
这类公式在计算时比较繁琐，为计算的方便，由定义公式进一步推导出总体方差和标准差的计算公式：
2=(X2-(X)2/n)/n
=√(X2-(X)2/n)/n
以样本方差和标准差估计总体方差和标准差的公式为：
S2=(X2-(X)2/n)/(n-1)
S=√(X2-(X)2/n)/(n-1)
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表：方差与标准差的公式摘要
使用范围
统计量
定义公式
计算公式
总体
方差(2 )
(X-)2/n
(X2-(X)2/n)/n
标准差()
√(X-)2/n
√(X2-(X)2/n)/n
样本
方差(S2 )
(X-Xm)2/(n-1)
(X2-(X)2/n)/(n-1)
标准差(S)
√(X-Xm)2/(n-1)
√(X2-(X)2/n)/(n-1)
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由表可以看出计算方差和标准差的两对公式所算出来的结果是不同的，在实际中应如何运用要根据是要计算总体的参数还是样本的统计量。如果要计算样本的统计量则用S2和S的公式。如果样本数据已经涵盖整个总体，也就是要计算总体的参数时，则用2和的计算公式。
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三、方差和标准差的计算
下面的计算中只讨论对一组数据的描述，尚不涉及由样本统计量估计总体参数的情况，因此在这里这一组数据就是涵盖了整个总体，因此计算公式要采用总体的计算公式。在这里我们不讨论总体和样本的关系问题，因此方差和标准差的符号用S2和S。
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1、未分组数据求方差和标准差
S2= (X-Xm)2/n
S=√ S2=√(X－Xm)2/n
或者
S2=(X2-(X)2/n)/n
S=√(X2-(X)2/n)/n
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例：
Xi
Xi-Xm=x
X2
Xi2
6
0
0
36
5
-1
1
25
7
1
1
49
4
-2
4
16
6
0
0
36
8
2
4
64
N=6, X=36
x=0
x2 =10
Xi2 =226
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2、已分组数据求方差和标准差
S2= (fd2