文档介绍：弹性力学有限元法
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2022/2/19
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问题及求解域定义
连续体离散化
即有限元网格划分，将连续体划分为有限个具
有一定形状的单元组合体，相邻单元之，在每个单元的局部范围里可以采
用比较简单的函数来近似地表达单元的真实位移，把各单元
的位移函数连接起来，就可以近似表示整个区域的真实的位
移函数。
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在离散体中任取一个单元，三个节点按逆时针方向顺序编
号为i，j，m。节点坐标分别表示为（xi，yi），（xj，yj），
（xm，ym）。
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对于弹性力学平面问题，一个三角形单元上的每
个节点应有2个位移分量，则三角形单元共有6个自
由度：。
三角形单元的节点位移矢量是：
单元节点力矢量是：
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单元分析的基本任务是建立单元节点力与节点位移之间的
关系式：
式中是6*6的矩阵，称为单元刚度矩阵。
将单元的位移分量u，v取为坐标x，y的多项式，且位移
场函数u，v在三个节点处的数值应该等于这三个节点处的六
个位移分量。
即有：
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在i，j，m三点应该有：
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由上式可以确定的值。将其带入
（1）式就可以得到用单元节点位移表示的单
元位移模式。
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N称为形函数矩阵或插值函数矩阵。
插值函数具有如下性质：
（1）在节点上插值函数的值有：
（2）在单元内任一点各插值函数的和等于一。
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线性单元
平面单元
立体单元
总体、局部和自然坐标
数值积分：高斯－勒让德多项式
ANSYS实例
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一维单元
形函数
形函数在有限元分析中,扮演非常主要的角色. 除作为元素(单元)的内插函数,将元素内的位移或温度分布,以节点位移或节点温度表示外,在余量法中的迦辽金法中,亦可作为加权函数来用. 此外,亦可将分布载荷转换为集中力与弯矩,分别施加在各节点上.
形函数根据其多项式的幂次,分为一次、二次、三次与高次等。
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位移沿着单元的分布可以用一个线性函数近似。如图所示。
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一维一次元素的形函数中，函数值沿单一坐标轴以线性变化。假设位移函数沿x轴线性变化，位移函数u＝u(x)可写成:
u=a1+a2x
向量形式:

假设在i、j节点的位移值分别为ui和uj , 有:
u=ui 在X=Xi处
u=uj 在X=Xj处
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将节点的值带入线性方程将产生两个方程和两个未知量：
求解未知量a1和a2得到：
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由节点的值表示的单元的位移分布为：
改写一下形式得到：
定义形函数：
其中l为单元长度。
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由形函数表示的单元的位移分布为：
写成矩阵形式：
可以使用形函数和相应的节点值来表示给定单元上的任意的未知量的变化。
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形函数的性质
在相应的节点上值为1,而在相邻节点上值为0.
和

和
。
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形函数对于x导数的和为0
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实例
（a）悬臂梁在X＝4cm处的温度由单元（2）来表示