文档介绍：第4章柯西-黎曼积分及其应用和推广与牛顿-莱布尼茨积分不同,柯西-黎曼积分是建立在近代极限理论的基础上。由于本篇中暂时避开了近代极限理论,所以我们也只能用“无限接近”的说法来定义柯西-黎曼积分。同样,关于柯西-黎曼积分的性质,我们也只能用几何图形来说明。§4-1柯西--黎曼积分的定义设函数)(xf定义在区间[ , ]a :0 1 2 1 1i i n na x x x x x x x b? ?? ?????????? ?把区间[ , ]a b划分成n个小区间,并用nx?,建议把函数)(xf在区间],[ba上的积分定义为“极限”1 101lim ( )( ) ( )dni nbi i ixaif x x x f x x?? ?? ??? ???(图4-1)【注意】不能把其中的0nx? ?改写为n??,因为n??时不一定有0nx? ?.后来,德国数学家黎曼(Riemann,1826─1866),国内多数教科书中都采用黎曼关于积分的下述定义(图4-2):设函数)(xf定义在有限(开、闭或半开半闭)区间ba,,用任意划分方法(记为P)把区间,a b划分成n个小区间:yxi-1xi图4-1Oax1xn-1bx( )y f x?1( )if x?AB图4-2y( )y f x?xn-1bxxi-1xiOax1i?( )if?0 1 2 1 1i i n na x x x x x x x b? ?? ?????????? ?第二步,在每一个小区间上都任意取一点,如在第i个小区间],[1iixx?上取的那一点记为i?,做出积分和1 21(P; , , , ) ( )i nn n n i iif x? ???????? ????1( )i i ix x x?? ??第三步,让所有小区间都无限变小,即让最大小区间的长度0nx? ?,若有极限01lim ( )ni ni ixif x? ??? ??? ??而且与区间的划分方法P和每一个小区间上那一点(1 )ii n?? ?的选取方法都无关,则称函数( )f x在区间,a b上可积分(简称可积),并称极限值01lim ( ) ( )dni nbi ixaif x f x x? ??? ??? ????(4-1)为函数)(xf在区间ba,,你可按“划分区间?做出积分和?取极限”.....,极限(4-1)不是第1章中说的函数极限,因为其中的积分和1 2(P; , , , )n n n? ??????不仅与划分区间的方法P有关,而且也