文档介绍：变换群与几何学
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2、射影仿射变换与仿射变换
定义. 在射影仿射平面上, 保持无穷远直线不变的射影变换称为射影仿射变换.
定理. 射影变换
成为射影仿射变换a31=a32=0.
即射影仿射变G, 有abG.
(2) 乘法满足结合律. 即a, b, cG, 有a(bc)=(ab)c.
(3) 存在单位元. 即eG, 使得aG, 有be=ea=a.
(4) 存在逆元. 即aG, a1G, 满足aa1=a1a=e.
变换群与几何学
定义. (子群)设G为群, H为G的一个非空子集, 若H对于G上的乘法也构成群, 则称H为G的一个子群.
定理. 群G的一个非空子集H为G的子群H满足下述条件.
(1) a, bH, 有abH.
(2) 若aH, 则必有a1H.
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定义. (群的同构)两个群G, G'之间的一个能够保持乘法运算的双射称为G与G′ 之间的一个同构.
如果群G与G′ 之间存在一个同构映射, 则称G同构于G′ , 记作GG′.
定理. 非空集合S上全体一一变换的集合对于变换的乘法构成群. 称为集合S上的全变换群.
定理. 非空集合S上部分一一变换的集合G对于变换的乘法构成群(全变换群的子群)
(1) 若g1, g2G, 则g1g2G.
(2) 若gG, 则g–1G.
定义. 集合S上全变换群的任一子群称为S上的一个变换群.
变换群与几何学
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三、平面上的几个变换群
P={平面上全体射影变换}
PA={平面上全体射影仿射变换}
PO={平面上全体射影正交变换}
A={平面上全体仿射变换}
O={平面上全体正交变换}
射影平面
仿射平面
射影变换***
射影仿射变换***A
射影正交变换***O
仿射变换群A
正交变换群O
上述7个变换群之间显然有下列关系：
在射影平面PR2上
在仿射平面A2\l上
PS={平面上全体射影相似变换}
射影相似变换***S
S={平面上全体相似变换}
相似变换群S
变换群与几何学
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四、Klein变换群观点
定义. 设S为一个非空集合, G为S上的一个变换群. 称S为空间, S的元素称为点, S的子集称为图形, G称为空间S的主变换群. 研究空间S中图形所决定的在G的每一个元素的作用下保持不变的性质(不变性)和数量(不变量)的科学称为一门几何学(S,G).
S的子集(图形)在G下被分成若干等价类, 属于同一等价类的图形具有相同的G性质(G给S赋予空间结构)
注显然, 在S上给定不同的变换群G, 则得到不同的几何学.
几何学(S, G)
变换群与几何学
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设  为 S 的子集, H为G的子群, 且对任意的 gH, 都有g()= , 又H为上的一个变换群, 且H≌H. 则称(, H)为(S,G)的一个以(S,H)为伴随绝对子几何学的相对子几何学, 并称B=S\为的绝对形.
定义. 如果(S,G)为一个几何学, H为G的子群. 则称几何学(S,H)为几何学(S,G)的一个绝对子几何学, 简称子几何学.
H
G
S
几何学(S,G)
子几何学(S,H)
H
G
几何学(S,G)
子几何学(S,H)
H
S

相对子几何学(, H )
例如:
变换群与几何学
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射影几何
射影仿射几何
射影相似几何
仿射几何
相似几何
绝对子几何关系
相对子几何关系
伴随关系
绝对形： l=PR2\PA2.
射影欧氏几何
欧氏几何
变换群系列
射影平面PR2
仿射平面PA2
变换群与几何学
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五、几种几何学的比较
1、射影几何学
空间
射影平面PR2
主变换群
射影变换***
研究内容
图形在射影变换下的不变性质和数量
同素性、关联性
交比
其余所有射影不变性
在射影平面上做演绎推理、对偶变换
基本射影不变性
变换群与几何学
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2、仿射几何学
空间
射影仿射平面PR2
主变换群
射影仿射变换***A
研究内容
图形在射影仿射变换下的不变性质和数量
注通常也直接将仿射几何学作为射影几何学的子几何学.
射影仿射几何学
空间
仿射平面A2
主变换群
仿射变换群A
研究内容
图形在仿射变换下的不变性质和数量
仿射几何学
不可用对偶原则
不可用对偶原则
变换群与几何学